Евгений Юрьевич Смирнов
Симметрические многочлены и многочлены Шуберта
Е. Ю. Смирнов планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Многочлен от нескольких переменных x1,…,xn называется симметрическим, если он инвариантен относительно любых перестановок переменных. Примерами таких многочленов являются, например, элементарные симметрические многочлены:x1+…+xnx1+…+xn, ∑i<jxixj∑i<jxixj, …, x1…xnx1…xn.. Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что любой симметрический многочлен можно выразить через элементарные, причем единственным образом.
Мы начнем со следующего вопроса: а какие еще наборы многочленов можно взять вместо элементарных симметрических? Мы увидим несколько таких наборов, после чего определим многочлены Шура — базис в пространстве симметрических многочленов, параметризуемый разбиениями (т.е. диаграммами Юнга), и обсудим, чем этот базис замечателен. Например, коэффициенты при всех мономах любого многочлена Шура неотрицательны, что совершенно не очевидно из определения. Мы докажем этот факт комбинаторно, установив соответствие между этими мономами и таблицами Юнга — способами заполнить клетки диаграммы Юнга натуральными числами по определенным правилам.
Многочлены Шура оказываются полезными во многих комбинаторных задачах. С их помощью мы получим доказательство формулы Макмагона, вычисляющей количество трехмерных диаграмм Юнга — фигурок из кубиков, которые умещаются в коробку заданных размеров.
Во второй части нашего курса мы рассмотрим многочлены, обладающие частичными симметриями — т.е. инвариантные относительно не всех, а лишь некоторых перестановок. Эти многочлены можно описать иначе: они аннулируются соответствующими операторами разделенных разностей. Это даст нам уже базис в пространстве всех многочленов, обобщающий базис из многочленов Шура — его элементы называются многочленами Шуберта и параметризуются перестановками. Все коэффициенты многочленов Шуберта опять-таки будут неотрицательными. Они тоже допускают комбинаторное описание, но вместо таблиц Юнга нужно взять некоторые картинки, которые по-английски называются pipe dreams (и напоминают фигурки из одноименной компьютерной игры).
Если останется время, мы обсудим, как многочлены Шуберта и pipe dreams возникают в геометрии в связи с разложением Брюа для группы GL(n).
Пререквизиты
Линейная алгебра в объеме первого курса. Одиннадцатиклассники тоже могут попробовать.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.