Евгений Константинович Шиндер,
Константин Александрович Шрамов

Простые особые точки и соответствие Маккея

Е. К. Шиндер и К. А. Шрамов планируют провести 3-4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Пусть задана конечная подгруппа  G⊂SL2(C). Тогда естественно рассмотреть фактор C^2 по её действию; такой фактор будет комплексно-двумерен, но не будет многообразием: начало координат будет особой точкой. К этой особой точке можно применить (стандартную) процедуру разрешения особенностей.

Простейший пример получается при G=Z/2, которая действует на C^2 по формуле (x,y)↦(−x,−y). При этом факторпространство X=C2/G оказывается квадратичным конусом u^2 + v^2 + w^2 = 0 в C^3 (так называемая особенность типа A_1), а разрешение особенности Y→X раздувает вершину этого конуса, вклеивая вместо неё одну рациональную кривую.

Когда разрешение особенностей требует несколько шагов, вклеиваемые кривые могут пересекаться, задавая граф (в простейшем случае выше это одноточечный граф A_1). С другой стороны, по представлениям группы G можно построить граф Маккея. Оказывается, эти два графа изоморфны; более того, между ними есть явный изоморфизм — который и называется соответствием Маккея.

Соответствие Маккея находится на пересечении коммутативной алгебры, алгебраической геометрии, теории особенностей и теории представлений и является элементарным и увлекательным введением в каждую из этих областей.

Предполагаются известными основы алгебры, то есть векторные пространства, кольца, группы, алгебры над полем, факторгруппы и факторкольца, максимальные и простые идеалы в кольце, а также что такое линейное действие конечной группы на векторном пространстве. Также хорошо (но необязательно) знать теорему Гильберта о нулях и что такое многообразие (алгебраическое или хотя бы гладкое).

План лекций

Лекция 1. Алгебраические многообразия. Соответствие между идеалами кольца функций и подмногообразиями. Особые и неособые точки многообразий. Факторы аффинных многообразий по действию конечной группы. Особенности типа $A_n$: фактор комплексной плоскости по циклической группе, уравнение для особенности A_n.

Лекция 2. Общие слова про диаграммы Дынкина типа ADE. Классификация конечных подгрупп в SL2(C). Особенности D_n, E_6, E_7, E_8: задание как фактор по бинарным группам и уравнение особенности. Если останется время: случай конечных подгрупп GL2(C)/

Лекция 3. Раздутие поверхностей. Диаграммы Дынкина и разрешение особенностей A_n, D_n, E_6, E_7, E_8. Соответствие Маккея.

Литература

  • [B] I. Burban: Du Val Singularities.
  • [D] I. Dolgachev: McKay correspondence, 2006/07.
  • [LW] G. Leuschke, R. Wiegand: Cohen-Macaulay Representations, 2011.

Материалы

См. также страницу e-shinder.staff.shef.ac.uk/mckay-lectures.htm


E-mail оргкомитета:

dubna@mccme.ru