Евгений Константинович Шиндер,
Константин Александрович Шрамов
Простые особые точки и соответствие Маккея
Е. К. Шиндер и К. А. Шрамов планируют провести 3-4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Пусть задана конечная подгруппа G⊂SL2(C). Тогда естественно рассмотреть фактор C^2 по её действию; такой фактор будет комплексно-двумерен, но не будет многообразием: начало координат будет особой точкой. К этой особой точке можно применить (стандартную) процедуру разрешения особенностей.
Простейший пример получается при G=Z/2, которая действует на C^2 по формуле (x,y)↦(−x,−y). При этом факторпространство X=C2/G оказывается квадратичным конусом u^2 + v^2 + w^2 = 0 в C^3 (так называемая особенность типа A_1), а разрешение особенности Y→X раздувает вершину этого конуса, вклеивая вместо неё одну рациональную кривую.
Когда разрешение особенностей требует несколько шагов, вклеиваемые кривые могут пересекаться, задавая граф (в простейшем случае выше это одноточечный граф A_1). С другой стороны, по представлениям группы G можно построить граф Маккея. Оказывается, эти два графа изоморфны; более того, между ними есть явный изоморфизм — который и называется соответствием Маккея.
Соответствие Маккея находится на пересечении коммутативной алгебры, алгебраической геометрии, теории особенностей и теории представлений и является элементарным и увлекательным введением в каждую из этих областей.
Предполагаются известными основы алгебры, то есть векторные пространства, кольца, группы, алгебры над полем, факторгруппы и факторкольца, максимальные и простые идеалы в кольце, а также что такое линейное действие конечной группы на векторном пространстве. Также хорошо (но необязательно) знать теорему Гильберта о нулях и что такое многообразие (алгебраическое или хотя бы гладкое).
План лекций
Лекция 1. Алгебраические многообразия. Соответствие между идеалами кольца функций и подмногообразиями. Особые и неособые точки многообразий. Факторы аффинных многообразий по действию конечной группы. Особенности типа $A_n$: фактор комплексной плоскости по циклической группе, уравнение для особенности A_n.
Лекция 2. Общие слова про диаграммы Дынкина типа ADE. Классификация конечных подгрупп в SL2(C). Особенности D_n, E_6, E_7, E_8: задание как фактор по бинарным группам и уравнение особенности. Если останется время: случай конечных подгрупп GL2(C)/
Лекция 3. Раздутие поверхностей. Диаграммы Дынкина и разрешение особенностей A_n, D_n, E_6, E_7, E_8. Соответствие Маккея.
Литература
- [B] I. Burban: Du Val Singularities.
- [D] I. Dolgachev: McKay correspondence, 2006/07.
- [LW] G. Leuschke, R. Wiegand: Cohen-Macaulay Representations, 2011.
Материалы
См. также страницу e-shinder.staff.shef.ac.uk/mckay-lectures.htm
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.