Георгий Борисович Шабат
Границы разрешимости в арифметической геометрии
Г. Б. Шабат планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Между двумя разделами математики, хорошо известными школьникам — арифметикой и геометрией — есть важное различие: геометрия разрешима, а арифметика неразрешима. Несколько упрощённое толкование этих утверждений заключается в том, что компьютерную программу, способную решить «все» геометрические задачи, написать можно, а для арифметических задач такой программы не существует. Точнее, не существует даже алгоритма, который по системе полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами определял бы, имеет ли система хотя бы одно целочисленное решение; в этом заключается отрицательное решение десятой проблемы Гильберта, полученное в прошлом веке Ю. В. Матиясевичем.
Арифметика и геометрия сходятся в одной из самых трудных областей взрослой математики — в арифметической геометрии. Здесь сосуществуют и изощрённые алгоритмы, решающие некоторые классы задач, и результаты об алгоритмической неразрешимости; во многих случаях ответы на вопросы об алгоритмической разрешимости неизвестны. Границы между разрешимым и неразрешимым часто неясны, и одна из основных целей курса — сформулировать соответствующие предположения на понятном школьникам языке.
Для понимания основной части курса не надо знать ничего, но надо быть готовыми заниматься довольно трудной математикой. Полезно, однако, иметь представление о роде алгебраической кривой и о кривизне поверхности.
Возможно, занятия будут сопровождаться компьютерными демонстрациями.
Программа курса
- 1. Формальные языки и теории. Разрешимость элементарной геометрии.
- 2. 10-я проблема Гильберта: обзор. Открытые проблемы.
- 3. Алгебраические кривые. Гипотеза Морделла и теорема Фальтингса.
- 4. Арифметика плоских кубических кривых.
Материалы
E-mail оргкомитета:
dubna@mccme.ru