Михаил Александрович Раскин
Счёт вслепую
М. А. Раскин планирует провести 3-4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Пользуясь цифрами 0 и 1, несложно записать натуральное число. Сложение в столбик позволяет прибавить к этому числу единицу. Такой способ записи и изменения числа требует в некоторых ситуациях прочитать и изменить все цифры.
А если число большое и мы хотим читать и писать поменьше цифр, но можем быстро запросить любые цифры числа «вразбивку»? Разумеется, придётся изменить представление числа. С середины 20-го века известны коды Грея; нам всё равно потребуется иногда читать число целиком, зато менять надо будет лишь по одной цифре за раз.
А можно ли прибавить к числу единицу, не читая всего числа? Оказывается, можно. Известен способ, при котором увеличение числа из n двоичных цифр на каждом из 2ⁿ шагов оставляет непрочитанной одну цифру. Можно ли лучше? Наверное чуть лучше можно, точно не знаю. Но хотя бы половину цифр прочитать придётся. Причём увеличить запись, тратящую n+1 цифру на числа от 1 до 2ⁿ, можно прочитав лишь около log n цифр, но вот если использовать все комбинации, то придётся читать не меньше ½n.
Конструкции — после того, как они были один раз предъявлены — объясняются совсем просто; а для нижней оценки надо пошаманить с перестановками и их чётностью, чем мы и займёмся.
Предварительных знаний не потребуется. Я надеюсь, что всем слушателям удастся понять из рассказанного не меньше, чем они пожелают.
Примерная программа курса
- Коды Грея (прибавление единицы с изменением только одной цифры).
- Запись чисел, бинарные деревья принятия решений и сложность операций.
- Бинарные диаграммы принятия решений: ещё один канонический вид для функций с бинарными аргументами
- Нижняя оценка класса «совесть надо иметь»: почему нельзя надеяться прочитать меньше логарифмического количества цифр.
- Увеличение чисел в экономной записи без чтения целиком: что сказал полный перебор и как это запомнить.
- Почему в экономной записи придётся прочитать половину цифр: перестановки, параллельные переносы и чётность.
- Увеличение чисел без чтения целиком: медленное сложение в столбик для случая с лишней цифрой.
- Прибавление единицы для записей, тратящих n цифр на «почти» 2^n значений.
- Gerth Stølting Brodal, Mark Greve, Vineet Pandey, Srinivasa Rao Satti. Integer representations towards efficient counting in the bit probe model. J. Discrete Algorithms 26: 34-44 (2014)
- Mikhail Raskin. A linear lower bound for incrementing a space-optimal integer representation in the bit-probe model. International Conference in Automata, Logic and Programming. (ICALP 2017)
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.