Владимир Юрьевич Протасов
Как распознать экстремум?
В. Ю. Протасов планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Наши представления о законах природы часто противоречивы. Теория вероятности учит, что все процессы тяготеют к среднему, а экстремальные ситуации крайне редки. Примеры из механики, оптики, биологии, экономики, и т.д. показывают обратное: все процессы происходят по экстремальным траекториям, доставляя экстремальные значения соответствующих величин. Минимизируют — время, расстояния, энергию, энтропию, расходы, риски… Максимизируют — площадь, прибыль, численность популяции… Умение распознавать экстремум и исследовать его свойства необходимо для понимания окружающих процессов.
Первый принцип теории экстремума общеизвестен — производная функции в точке минимума равна нулю. В задачах вариационного исчисления, когда нужно находить уже не точки минимума, а экстремальные функции и траектории, этот принцип превращается в уравнения Эйлера–Лагранжа. А если экстремальные функции ищутся при множестве ограничений на их значения в каждой точке, то мы приходим к оптимальному управлению: динамическому программированию, принципу максимума Понтрягина, и т.д.
Мы пройдем по ключевым этапам, от простых и известных экстремальных задач до самых современных. Увидим как методы теории экстремума работают на классических примерах и сформулируем ряд нерешенных проблем. Примерный план (разбивка — не по лекциям, а по темам):
- Правило множителей Лагранжа: обыкновенное чудо.
- Кривая наискорейшего спуска и задача Плато о минимальной площади обертки. Оптический принцип Бернулли.
- Уравнения Эйлера–Лагранжа. Геодезические на поверхности.
- Аэродинамическая задача Ньютона: 300 лет спустя — всё сначала. Поверхности нулевого сопротивления и невидимые поверхности.
- Что такое оптимальное управление? Принцип максимума.
- Всё оказалось сложнее … NP-сложность вариационных задач. Хаос с точками переключения: феномен чаттеринга и пример Фуллера. Отсутствие оптимальных траекторий, импульсное управление.
От слушателей потребуется пространственное воображение и знакомство с понятиями производной и интеграла. Все остальное мы напомним и повторим.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.