Никита Сергеевич Калинин
Модель пересыпания песка и дивизоры на графах
Н. С. Калинин планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Песочные модели независимо появились как минимум трижды — в комбинаторике, теории чисел и в стат. физике (как архетипичный пример самоорганизующейся критичности). Состояние модели на графе задаётся количествами песчинок в вершинах графа и эволюционирует по следующему правилу: если количество песчинок в вершине не меньше её степени, то вершина отдаёт по одной песчинке каждому из своих соседей. Такая операция называется обвалом (toppling).
Эта простая модель, вместе с тем, имеет множество интересных свойств. Например, множество возвратных состояний (таких, которые встречаются бесконечное количество раз в некоторой динамике) образует группу. Более того, для графов верна теорема Римана–Роха — аналог фундаментального результата для римановых поверхностей. В симуляциях песочной модели можно увидеть картинки фрактального и кусочно-квадратичного типа, и лишь немногие из них получили строгое математическое обоснование на данный момент.
Эта область содержит много открытых проблем и интенсивно развивается: только в 2016, посредством изучения случайных деревьев на плоскости, было наконец доказано, что распределение лавин в некоторой динамике песочной модели удовлетворяет степенному закону — что было экспериментально открыто тридцать лет назад, в 1987, и является основной причиной популярности песочных моделей в стат. физике.
Необходимо знать что такое группа (или спросить, я готов перед курсом объяснить за пять минут). Остальные объекты будут определены по курсу и проиллюстрированы подборками задач. Рекомендуется просмотреть (хотя бы бегло) материалы старых курсов в Дубне, неожиданным образом связанных с этим курсом: «Тропическая геометрия» М.Э.Казаряна, «Повесть о двух фракталах» А.А.Кириллова.
На странице http://mathcenter.spb.ru/nikaan/misc/sand.html появятся материалы к курсу.
План курса
1 занятие: история песочных моделей, возвратные состояния, песочная группа
2 занятие: доказательства и подсказки к упражнениям из предыдущей лекции, дивизоры на графах, теорема Римана-Роха.
3-4 занятия: сходимость в песочных моделях при изменении масштаба (scaling limits). Мы обсудим как в песочных моделях появляются гармонические функции, тропическая геометрия и ковры Аполлония. Эти темы будут также обильно представлены задачами.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс совместно с мех-мат МГУ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- А.А.Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.