Алексей Антонович Глуцюк
О бильярдах и геодезических потоках с законами сохранения
А. А. Глуцюк планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Известно, что многие физические процессы описываются законами сохранения и принципом наименьшего действия: за данный промежуток времени определенная величина увеличивается на минимально возможную добавку. Мини-курс посвящен двум фундаментальным классам математических систем с вышеупомянутыми свойствами, происходящих из задач механики, физики и оптики: бильярдам и геодезическим потокам.
Имеется ряд старых нерешенных и просто формулируемых проблем о бильярдах. Например, не известно, в каждом ли треугольном бильярде есть периодическая траектория. Выпуклый бильярд интегрируем, если существует непрерывное семейство непересекающихся замкнутых кривых (называемых каустиками), таких что всякая касательная к каждой кривой продолжается до бильярдной траектории, касающейся ее всеми своими ребрами. Эллиптические бильярды интегрируемы. Знаменитая открытая гипотеза Бирхгофа утверждает, что интегрируемы только они.
Геодезический поток, на замкнутой поверхности — это эволюция пар: точка и вектор, приложенный к ней. Движение точки на поверхности происходит со скоростью, равной приложенному вектору, модуль скорости постоянен, а длина пути, пройденного за данный промежуток времени, минимальна по всем близким путям, идущим от заданной начальной точки к заданной конечной точке. Кривая с таким свойством называется геодезической. Модуль скорости сохраняется: это — аналог закона сохранения кинетической энергии. Геодезический поток на поверхности называется интегрируемым, если имеется дополнительный закон сохранения, не выводящийся из предыдущего. Известно, что геодезические потоки на эллипсоиде и на двумерном торе со стандартной метрикой интегрируемы. Не известно, существуют ли метрики на поверхностях высшего рода и нестандартные метрики на торе с интегрируемыми геодезическими потоками.
В курсе будут обсуждены известные результаты и текущее состояние дел по вышеупомянутым открытым проблемам. В частности, мы обсудим:
- треугольные орбиты в остроугольных треугольных бильярдах;
- интегрируемость эллиптических бильярдов и теорема Понселе;
- несчетное семейство каустик в выпуклом бильярде (В.Ф.Лазуткин);
- решение частных случаев гипотезы Бирхгофа;
- связь прямоугольного бильярда и геодезического потока на торе, вывод основной альтернативы для орбит бильярда: плотность или периодичность;
- интегрируемость геодезического потока на двумерном эллипсоиде;
- интегрируемый эллиптический бильярд как предел геодезического потока на уплощающемся эллипсоиде.
Курс будет рассчитан на студентов младших курсов и, я надеюсь, его большая часть будет понятна школьникам, начиная с 10 класса.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.