Александр Александрович Гайфуллин
Вокруг формулы Шлефли
А. А. Гайфуллин планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Предположим, что в пространстве движутся четыре точки, никогда не оказываясь в одной плоскости. В каждый момент времени рассмотрим тетраэдр с вершинами в этих точках. Оказывается, что скорости изменения двугранных углов этого тетраэдра (то есть их производные по времени) удовлетворяют замечательному соотношению
∑i=16ℓi(t)θi˙(t)=0.
Здесь ℓ1,…,ℓ6ℓ1,…,ℓ6 — длины рёбер тетраэдра, θ1,…,θ6θ1,…,θ6 — двугранные углы при этих рёбрах, а точка обозначает производную по времени. Это и есть простейший вариант формулы Шлефли. Такому же соотношению удовлетворяют и производные двугранных углов произвольного многогранника, который непрерывно изменяется с сохранением своего комбинаторного типа.
Ещё более интересный вид формула Шлефли принимает, если рассматривать многогранники не в евклидовом пространстве (пространстве нулевой кривизны), а в пространстве Лобачевского (пространстве постоянной отрицательной кривизны) или в сферическом пространстве (пространстве постоянной положительной кривизны). В этом случае в правой части формулы Шлефли вместо нуля будет стоять производная по времени объёма многогранника, умноженная на постоянный множитель ±2 (знак равен знаку кривизны). Поэтому формулу Шлефли можно применять для вычисления объёмов некоторых многогранников в неевклидовых пространствах.
Курс доступен школьникам. В частности, не требуется предварительное знакомство с геометрией Лобачевского.
Программа курса
- 1. Формула Шлефли в евклидовом пространстве. Разные её доказательства.
- 2. Необходимые сведения о плоскости и пространстве Лобачевского. Формула для площади многоугольника в плоскости Лобачевского или на сфере.
- 3. Формула Шлефли в неевклидовых пространствах постоянной кривизны.
- 4. Явные формулы для объёмов некоторых видов неевклидовых многогранников.
- 5. Аналитическое продолжение функции объёма симплекса в пространстве Лобачевского. Если успею: его применение для доказательства постоянства объёмов изгибаемых многогранников в трёхмерном пространстве Лобачевского.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.