Иван Александрович Панин
Введение в А1-гомотопическую теорию Мореля–Воеводского
И. А. Панин планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
В теории Воеводского и Мореля есть две составляющие: геометрическая и теоретическая. Вторая часть много сложнее, а первая — очень геометрична. Мы займемся именно геометрической частью.
Одна из конкретных задач, которые мы разберем, примерно такова. Пусть $F$ — поле (например, поле комплексных, или поле вещественных, или поле рациональных чисел). Пусть $Q(F)$ — это множество классов эквивалентности невырожденных квадратичных форм с точностью до линейных замен координат. Тогда $Q(F)$ равно классам оснащенных соответствий из точки в точку с точностью до наивных $А^1$-гомотопий (= полиномиальных $А^1$-гомотопий).
При этом квадратичной форме $aT^2$ сопоставляется оснащенное соответствие (начало координат, прямая, функция $at$), здесь $а$ — ненулевой элемент поля $F$. Эта теорема является алгебраическим вариантом теоремы из топологии о том, что классы отображений из сферы в себя однозначно определяются степенью отображения. В алгебраическом случае роль степени отображения играет класс эквивалентности квадратичной формы над данным полем $F$.
Курс рассчитан на студентов 1-го и 2-го курса.
Предполагается хорошее знакомство с комплексными числами, многочленами и рациональными функциями. Все необходимые определения будут даны по ходу курса. Изложение, по-видимому, будет вестись в основном в случае $F$ = поле комплексных чисел.
Простой пример полиномиальной гомотопии. Для любой матрицы $А$ размера 3 на 3 над полем $F$ с определителем $1$ можно найти матрицу $А_t$ над кольцом многочленов $F[t]$ такую, что $А_1=А$, $А_0=\text{единичной матрице}$. Это наблюдение показывает, что все отображения из точки в обратимые матрицы размера 3 на 3 с определителем 1 являются полиномиально эквивалентными.
На этот раз курс будет сопровождаться решаемыми задачами (упражнениями).
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс совместно с мех-мат МГУ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- А.А.Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.