Виктор Алексеевич Клепцын
Решетки и упаковки шаров
В. А. Клепцын планирует провести одно занятие.
Доступна видеозапись курса.
Понятно, как наиболее плотно расположить одинаковые монеты на плоском столе: их центры должны образовывать шестиугольную решетку. В размерности 3 вопрос о наиболее плотной упаковке одинаковых шаров — гипотеза Кеплера — оказался гораздо более сложным: его решили меньше 20 лет назад, причем доказательство занимает больше трех сотен страниц и существенно использует компьютерные (пусть и строгие) вычисления.
Однако в размерностях 8 и 24 есть очень красивые и симметричные решетки — это решетка Коркина-Золотарева (1877, [KZ]) и решетка Лича (1967, см. [L], [CS], [Z]) соответственно.
В марте этого года появились две работы: Марина Вязовска доказала [V], что упаковка решеткой Коркина-Золотарева — действительно плотнейшая в размерности 8, а в соавторстве с Коном, Кумаром, Радченко и Миллером [CKMRV] они получили такой же результат в размерности 24 и для решетки Лича.
Удивительным образом, ход рассуждений этих работ — опирающихся на предложенную Коном и Элкисом в их работе [CE] 2003-го года оценку на плотность любых упаковок — совершенно нагляден, и его рассказу и будет посвящена лекция.
Я буду предполагать, что слушатели хорошо знакомы с понятием скалярного произведения и с комплексной экспонентой. Желательно также минимальное знакомство с рядами Фурье; впочем, я приведу на лекции все необходимые сведения о них.
Список литературы
- [KZ] A. Korkine, G. Zolotareff (1873), Sur les formes quadratiques, Mathematische Annalen, 6:3, 366-389.
- [L] J. Leech (1967), Notes on sphere packings, Canadian Journal of Mathematics 19: 251–267.
- [CE] H. Cohn, N. Elkies (2003), New upper bounds on sphere packings I, Annals of Mathematics, 157, 689–714; arXiv:math.MG/0110009.
- [CS] Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. М.: Мир, 1990.
- [V] M. Viazovska (2016), The sphere packing problem in dimension 8, preprint, arXiv:1603.04246.
- [CKMRV] H. Cohn, A. Kumar, S. Miller, D. Radchenko, M. Viazovska (2016), The sphere packing problem in dimension 24, preprint, arXiv:1603.06518v1.
- [Z] C. Zong, What is … the Leech lattice? Notices Amer. Math. Soc. 60:9 (2013), 1168--1169.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.