Александр Игоревич Буфетов,
Дмитрий Игоревич Зубов
Меры Пальма
А. И. Буфетов и Д. И. Зубов планируют провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Каковы шансы 18-летнего москвича дожить до 80 лет?
Джон Граунт, изучавший таблицы смертности (bills of mortality, [3]) лондонцев ещё в середине XVII века, считается предтечей теории точечных процессов, изучающей последовательности неразличимых событий, происходящих через случайные промежутки времени.
Например, в процессе Пуассона количества событий в непересекающихся интервалах времени независимы. Таким образом можно моделировать приход автобусов на остановку. Если автобус ходит по Пуассону в среднем раз в 10 минут, а мы приходим на остановку каждый день в одно и то же время, то мы будем ждать следующего автобуса в среднем десять минут (отнюдь не пять!). В этом состоит парадокс времени ожидания.
Разбирая парадокс, мы придём к мерам Пальма – условным мерам при условии события в данный момент времени. Отправляясь от введённой Пальмом в [7] функции, меры Пальма подробно изучил в работе [5] А.Я. Хинчин (см. также [6]).
Конрад Пальм (1907-1951) |
Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959) |
Во второй части курса мы рассмотрим так называемые детерминантные точечные процессы, моделирующие поведение газа заряженных частиц, а также (гипотетически) распределение нулей дзета-функции Римана. В этой модели частицы влияют друг на друга на сколь угодно большом расстоянии.
На левом рисунке частицы иногда накапливаются, а на правом отталкиваются под действием кулоновской силы.
Главный результат второй части курса – явное описание [1] условных мер Пальма детерминантных процессов.
План курса
- История точечных процессов: от таблиц смертности к теории массового обслуживания.
- Пуассонов процесс и парадокс времени ожидания.
- Теорема Пальма--Хинчина.
- Гиббсовское свойство. Условные меры детерминантных точечных процессов.
Доказательства в курсе используют только сведения, входящие в школьную программу (дифференцировать и интегрировать функции одной переменной всё же понадобится), и наш курс вполне доступен увлечённому школьнику.
Ссылки
[1] Alexander I. Bufetov. Conditional measures of determinantal point processes. Preprint.
[2] D.J. Daley, D. Vere-Jones. An Introduction to the Theory of Point Processes. Volume I: Elementary Theory and Methods. Springer-Verlag New York, 2003.
[3] John Graunt. Observations on the London bills of mortality. 1662.
[4] А.Н. Колмогоров. Sur le problème d'attente. Мат. сборн., 1931, 38, № 1—2, 101-106.
[5] А.Я. Хинчин. Математические методы теории массового обслуживания. Тр. МИАН СССР, 1955, том 49, стр. 3-122.
[6] А.Я. Хинчин. Математическая теория стационарной очереди. Мат. сборн. 1932, 39, №4, 73-84.
[7] C. Palm. Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr. Ericsson Technics, 1943, 44, 1-189.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.