Илья Игоревич Богданов
Покрытия арифметическими прогрессиями
И. И. Богданов планирует провести 3-4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Основной предмет, изучающийся в курсе — покрытие множества всех целых чисел конечным числом арифметических прогрессий. Поскольку каждая прогрессия из целых чисел задаётся сравнением вида $x\equiv a\pmod m$, часто говорят о покрытиях системой сравнений.
Вопросы, в которых оказываются полезными такие покрытия, возникают в разных областях математики. Мы, в частности, поговорим о следующих вопросах:
- 1. Конечно или бесконечно множество нечётных чисел, не представимых в виде суммы или разности степени двойки и простого числа?
- 2. Вершины правильного нечётноугольника разбиты на несколько множеств, каждое также является множеством вершин правильного многоугольника. Тогда среди полученных многоугольников есть три равных.
- 3. При каких целых d существует многочлен f(x) с целыми коэффициентами (f(1)\neq -d) такой, что при всех n многочлен x^nf(x)+d раскладывается в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами (отличных от \pm1)?
Мы увидим, что первые два вопроса решаются автоматически после введения правильного языка. Третий же (не решённый до сих пор) тесно связан с одной из самых известных гипотез в изучаемой области.
Структура покрытий прогрессиями весьма богата и сложна (а также интересна) для изучения. Мы увидим, как можно (и нужно!) один и тот же объект описать на совершенно различных языках — комбинаторном, теоретико-числовом, алгебраическом и т. п. Каждый из таких подходов приносит свои плоды (а также приводит к постановке новых открытых вопросов).
От слушателей предполагается знакомство с комплексными числами и Китайской теоремой об остатках.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.