Владимир Владимирович Успенский
Римановы поверхности и модулярные формы
В. В. Успенский планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Курс посвящен римановым поверхностям, модулярным формам и некоторым их приложениям. Эти фундаментальные понятия, играющие важную роль в самых разных разделах математики, можно определить при помощи верхней полуплоскости — множества комплексных чисел с положительной мнимой частью, — которую мы будем рассматривать как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского.
Соответствующие определения будут даны в курсе. Будет показано, что движения плоскости Лобачевского совпадают с дробно-линейным преобразованиями полуплоскости, а дискретные группы движений приводят к замощениям плоскости Лобачевского конгруэнтными многоугольниками (сторонами которых, с точки зрения евклидовой геометрии, являются дуги окружностей). Отождествляя между собой подходящие стороны одного из таких многоугольников (или отождествляя точки, лежащие на одной орбите относительно заданной дискретной группы движений), мы получаем риманову поверхность («сферу с ручками» с числом ручек не менее двух).
Мы увидим, что подгруппам группы целочисленных матриц размера 2×2 с определителем единица соответствуют римановы поверхности, и изучение функций на таких поверхностях приводит к понятию модулярной формы. Модулярные формы — это функции на верхней полуплоскости, удовлетворяющие определенным функциональным уравнениям, связанным с рассматриваемой группой.
Этот подход к понятиям римановой поверхности и модулярной формы будет подробно описан в начале курса.
Затем мы увидим, что некоторые поразительные числовые тождества получают естественное объяснение на языке модулярных форм. Общий принцип здесь такой: модулярных форм мало, поэтому между ними можно ожидать нетривиальных соотношений.
Модулярные формы возникают в самых разных областях математики. Например, Великая Теорема Ферма была доказана в качестве следствия гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля (ныне имеющей статус теоремы) о связи эллиптических кривых с модулярными формами.
Мы рассмотрим некоторые применения модулярных форм. В частности, мы докажем единственность решетки Лича — замечательной решетки в 24-мерном пространстве.
От слушателей предполагается знакомство с комплексными числами и началами анализа.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.