Michele Triestino
Группы, деревья и концы
M. Triestino планирует провести 4 занятия.
M. Triestino планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
"Что такое группа? Алгебраисты учат, будто это множество с двумя операциями, удовлетворяющими куче легко забываемых аксиом. Это определение вызывает естественный протест: зачем разумному человеку такие пары операций? «Да пропади она пропадом, эта математика» — заключает студент (делающийся в будущем, возможно, министром науки)."
В. И. Арнольд. О преподавании математики
Это, безусловно, мое любимое описание группы! В следующем абзаце Арнольд утверждает, что группа существует — в «онтологическом» смысле — если мы можем думать о ней, действующей на некоторое пространство. Таким пространством может быть сама группа, однако важным моментом является то, что это сразу же приводит к рассмотрению некоторой соответствующей дополнительной структуры, некоторой геометрии.
В этой серии лекций мы будем открывать группы через их действия на графах и, в частности, на деревьях, с помощью очень элегантной теории, разработанной Басом и Серром. Ведущая идея будет заключаться в том, что некоторое мягкое геометрическое свойство может определять очень жесткую алгебраическую структуру в группе.
Рассматривая один из возможных примеров, с группой можно связать ее концы — «точки на бесконечности " ее графика. Например, $ \ mathbb Z$имеет два конца( плюс и минус бесконечность), $ \ mathbb Z^2 $ имеет один (бесконечность), свободная группа с двумя генераторами имеет бесконечно много. Известная теорема Столлингса предлагает алгебраическое описание групп с бесконечным числом концов.
Хорошее доказательство этой теоремы проходит через теорию Басса - Серра,описывая, как группы могут действовать на деревья. Мы объясним эту теорию и, если позволит время, скажем несколько слов о том, что осталось доказать теорему Столлингса, как группа с бесконечно многими концами может быть вынуждена действовать на дерево.
Пререквизиты: теория групп и графов.
E-mail оргкомитета:
dubna@mccme.ru