Михаил Юрьевич Розенблюм
Введение в двенадцатую проблему Гильберта
М. Ю. Розенблюм планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Явно построить конечное расширение поля — означает, в сущности, свести задачу нахождения решений уравнения высокой степени к более простой задаче.
Исторически первым примером была проблема решения уравнений в радикалах. Окончательный ответ был дан Галуа в первой половине XIX века. Обнаружилось, что уравнение решается в радикалах, если его группа Галуа разрешима. Однако чтобы добраться до решений, приходится последовательно извлекать корни, а распараллелить процедуру в общем случае невозможно.
Простейший подкласс разрешимых групп — коммутативные (или абелевы) группы. Случай абелевых расширений исследовал Куммер. Его конструкция работает, если поле коэффициентов содержит достаточно много корней из единицы (тем больше, чем выше степень уравнения), и поэтому применима не ко всем абелевым расширениям.
Для того, чтобы избавиться от этого условия и универсально сконструировать все абелевы расширения поля $\mathbb{Q}$, понадобились десятилетия. Ответ дала теорема Кронекера–Вебера, утверждающая, что такие расширения порождаются корнями из единицы или, что тоже самое, значениями $\exp(2\pi iz)$ в рациональных $z$.
В своём знаменитом докладе на математическом конгрессе в 1900 году Гильберт сформулировал общую задачу: построить абелевы расширения любого конечного расширения поля $\mathbb{Q}$ по аналогии с предыдущей теоремой.
Очередным шагом стала теория комплексного умножения эллиптических кривых, позволившая обосновать исследованную ещё Кронекером конструкцию и решить проблему для мнимоквадратичных расширений $\mathbb{Q}$.
В курсе лекций вышеизложенное будет объяснено с разумной мерой детализации, после чего будет дан обзор современного состояния проблемы.
Программа курса
Теория Галуа. Расширения Куммера. Идеалы в кольцах алгебраических чисел. Разложение расширений. Ветвление. Поля классов. Закон взаимности. Эллиптические функции. Комплексное умножение. СМ–поля. Гипотезы Старка.
Предполагается, что слушатели знают простейшие свойства групп, колец и полей, и слыхали про $p$-адические числа и функции комплексной переменной.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.