Олег Рустамович Мусин
Лемма Шпернера: приложения и обобщения
О. Р. Мусин планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Пусть задан треугольник, вершины которого помечены цифрами 0, 1 и 2, и его триангуляция. Знаменитая лемма Шпернера в двумерном случае утверждает, что если вершины триангуляции пометили теми же значениями (0, 1, 2) так, чтобы любая вершина на стороне исходного треугольника была бы помечена одной из меток вершин этой стороны, то обязательно существует треугольник разбиения, помеченный цифрами 0, 1, 2.
Доказанная в 1928 году лемма Шпернера давно уже является предметом обсуждения на математических кружках и источником олимпиадных задач. Между тем, она является комбинаторным аналогом теоремы Брауэра о неподвижной точке и у нее большое число приложений. В частности, эта лемма и ее обобщения играют важную роль в теории игр и из нее выводится уравнение равновесия Нэша.
В лекциях будет дано достаточно элементарное изложение постановок задач и доказательств. Я разберу отдельно начальные понятия топологии, которые понадобятся во второй половине курса.
Программа курса:
- 1. Лемма Шпернера и ее доказательство методом “комнат и дверей”. Другие доказательства леммы.
- 2. Леммы Таккера, Ки Фана и Ю. А. Шашкина.
- 3. Лемма Кнастера–Куратовского–Мазуркевича (ККМ).
- 4. Лемма Шпернера для многоугольников и многогранников.
- 5. Обобщения леммы Шпернера и степень отображения.
- 6. Доказательство М. А. Красносельского теоремы Хелли.
- 7. Как используя лемму Шпернера справедливо разрезать торт и справедливо распределить n комнат в квартире между n жильцами?
- 8. Непрерывные отображения. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
- 9. Теорема Борсука–Улама.
- 10. Понятие о применении лемм типа Шпернера в математической экономике и теории игр.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.