Виктор Алексеевич Клепцын
Вероятность пробоя на треугольной решетке - и при чем тут дискретный комплексный анализ?
В. А. Клепцын планирует провести 4 занятия.
Доступны 5 видеозаписей курса.
Рассмотрим прямоугольник, составленный из маленьких правильных шестиугольных плиток. Подкинем для каждой из этих плиток монетку, и, если выпадет орел, объявим ее открытой, а иначе закрытой. С какой (примерно) вероятностью от левого края прямоугольника до правого можно дойти путем, проходящим только по открытым плиткам?
Этим и многими другими схожими вопросами занимается теория протекания — историю которой принято отсчитывать с работы 1957 года, в которой Хаммерсли и Броадбент изучали прохождение газа через угольный фильтр противогаза для шахтеров.
Ответ на вопрос о вероятности пробоя дается (на первый взгляд пугающей) формулой Карди, предсказанной им в 1991-м из соображений конформной теории поля. Строго эта формула — в гораздо более приятно выглядящей переформулировке Л. Карлесона — была доказана лишь десять лет спустя С. К. Смирновым в его работах 2001-го года (одних из тех, за которые в 2010-м он получил премию Филдса).
В нашем курсе мы, хоть и не в деталях, обсудим доказательство этой формулы — опирающееся на такую удивительную вещь, как дискретный комплексный анализ. Начальную часть последнего мы сначала построим, а затем ею воспользуемся; интересно, что некоторые утверждения в дискретном анализе доказываются проще, чем их непрерывные аналоги.
Наконец, мы обсудим описание формы границы связной компоненты (точнее, границы между двумя большими связными компонентами открытых и закрытых плиток). Оказывается, что такие границы ведут себя, как фракталы — в частности, в прямоугольнике с размерами порядка N путь пробоя, скорее всего, будет состоять из примерно (по порядку роста) N 4/3 плиток. Вопрос о поведении границы — дорога, ведущая к уравнению эволюции Шрамма–Левнера, при разных параметрах (доказано или гипотетически) описывающему случайные пути во многих задачах: блуждания со стиранием петель, двойных димеров, границы между областями для критического намагничивания, и многих других.
Для понимания курса должно быть достаточно хорошего знакомства с комплексными числами, и интуитивного понимания теории вероятностей. Я надеюсь сделать этот курс полностью доступным студентам и интересующимся одиннадцатиклассникам.
Программа курса
- 1. Задача пробоя на решетке (фильтр противогаза, описание эпидемии в роще); критическая вероятность.
- 2. Двойственность и теорема Харриса, размеры кластеров.
- 3. Конформные отображения; универсальность и конформная инвариантность ответа в задаче пробоя.
- 4. Дискретный комплексный анализ.
- 5. Задача Дирихле: распределение температуры и форма мыльной пленки.
- 6. Доказательство формулы Карди для треугольной решетки.
- 7. Вопрос о форме границы и уравнение Шрамма—Левнера.
E-mail оргкомитета:
dubna@mccme.ru