Алексей Антонович Глуцюк
Бильярды, интегрируемость и хаотичность
А. А. Глуцюк планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Бильярды встречаются в разных областях, например, в классической механике, геометрической оптике, модели Больцмана идеального газа, в динамических системах и классическом анализе (спектральная теория). В частности, движение системы механических тел с упругими столкновениями и распространение света в замкнутой комнате с идеально отражающими стенками описываются бильярдными траекториями.
Имеется ряд старых нерешенных и просто формулируемых проблем о бильярдах. Например, не известно, в каждом ли треугольном бильярде есть периодическая траектория. Выпуклый бильярд называется интегрируемым, если существует непрерывное семейство непересекающихся замкнутых кривых (называемых каустиками), таких что всякая касательная к каждой кривой продолжается до бильярдной траектории, касающейся ее всеми своими ребрами. Эллиптические бильярды интегрируемы. Знаменитая открытая гипотеза Бирхгофа утверждает, что интегрируемы только они. Не известно, существуют ли строго выпуклые плоские бильярды с гладкой границей и хаотической динамикой. Хаотичность означала бы, в частности, что число периодических орбит данного периода растет, как минимум, экспоненциально как функция периода.
В курсе будут обсуждены известные классические результаты и текущее состояние дел по вышеупомянутым открытым проблемам. В частности, мы обсудим
- существование периодических орбит в каждом остроугольном треугольном бильярде и в каждом бильярде, углы которого рационально кратны π, результаты Р. Шварца о тупоугольных треугольных бильярдах;
- интегрируемость эллиптических бильярдов и теорема Понселе;
- хаотичность вогнутых бильярдов;
- простейшие примеры выпуклых хаотических бильярдов, в первую очередь, стадион Бунимовича;
- существование бесконечного семейства каустик, заполняющих множество положительной меры, в достаточно гладком строго выпуклом бильярде (результат В. Ф. Лазуткина, применение теории КАМ);
- решение частных случаев гипотезы Бирхгофа (вкл. результат М. Л. Бялого и совместный результат А. Авилы, Ж. Де Симои и В. Ю. Калошина) и результат Д. В. Трещева о существовании так называемых «локально интегрируемых» экзотических бильярдов.
Курс будет рассчитан на школьников, начиная с 10 класса, и студентов. Предварительных знаний не требуется. Материал, выходящий за рамки школьной программы (кривизна кривой и т. д.), будет коротко представлен.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.