Алексей Игоревич Буфетов
Циклы случайных перестановок и процессы Пуассона
Ал. И. Буфетов планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Для большого числа $N$ зададимся вопросами:
- Какова доля натуральных чисел $n=1,2, \dots, N$, имеющих простой делитель, больший чем $\sqrt n$?
- Рассмотрим все перестановки из $N$ элементов. Сколько из них имеют цикл длины больше, чем $N/2$?
Более глобально, нас будет интересовать:
- Как выглядит (типичное) разложение на простые множители случайного (от $1$ до $N$) натурального числа?
- Как выглядят (типичные) длины циклов случайной перестановки из $N$ элементов?
В таком виде даже не совсем понятно, как может выглядеть ответ — ведь простых делителей и циклов может быть много (скажем, порядка $N$), а может быть мало (порядка константы).
Основная цель курса — сформулировать и обосновать ответ на эти вопросы.
Для этого нам потребуется познакомиться с понятием пуассоновского процесса. В жизни мы сталкиваемся с пуассоновскими процессами очень часто, например:
- когда ждем автобуса, который ходит не по расписанию
- когда смотрим на звездное небо (особенно если из случайной точки вселенной)
- когда к нам приходят сообщения в социальных сетях (при условии, что у нас много друзей и они нам часто пишут без особого повода)
- когда изучаем радиоактивный распад,
- когда смотрим на капли на асфальте после дождя.
Мы изучим некоторые базовые свойства пуассоновских процессов, что будет и любопытно само по себе, и поможет ответить на упомянутые выше вопросы про разложения на простые множители и перестановки.
Программа курса
По курсу предполагается выдача листочков с задачами.
Для понимания курса желательно что-то слышать о производной и интеграле. Предварительные знания из теории вероятностей не предполагаются.
Материалы
-
- Длины циклов перестановки $N$ элементов. Сходимость к процессу «ломания палки». Краткое изложение необходимых сведений из теории вероятностей.
- Пуассоновский процесс — определение и базовые свойства.
- Процесс Пуассона–Дирихле. Сходимость упорядоченных длин циклов случайной перестановки к процессу Пуассона–Дирихле при $N \to \infty$.
- Сходимость упорядоченных простых множителей случайного числа к процессу Пуассона–Дирихле.
-
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.