Виктор Анатольевич Васильев

Ветвящиеся объемы и группы отражений

В. А. Васильев планирует провести 4 занятия.

Из одной теоремы Архимеда следует, что объем, отсекаемый плоскостью от шара или эллипсоида, алгебраически зависит от коэффициентов уравнения плоскости. Напротив, в двумерном случае Ньютон доказал, что такой зависимости не может быть ни для эллипса, ни для любой другой гладкой выпуклой фигуры.

В 1987 году, перечитывая главную книгу Ньютона, В. ⁠И. ⁠Арнольд предположил, что эти факты верны и для старших размерностей и любых областей: ни для какой области с гладкой границей в четномерном пространстве соответствующая функция объема не является алгебраической, в нечетномерных же пространствах эта функция алгебраична только у эллипсоидов. Первая из этих гипотез — о четномерном случае — была окончательно доказана в прошлом году, вскоре после лекций на эту тему на ЛШСМ-2013; нечетномерная же задача еще ждет своего полного решения.

Я расскажу про все это, и вообще про набор соображений, позволяющих доказывать утверждения такого типа — теорию монодромии, которая, в частности, описывает сложность продолжения функций объема (и многочисленных других функций математической физики, например поверхностных потенциалов и решений волновых уравнений) в комплексную область. Современный топологический аппарат этой науки называется теорией Пикара-Лефшеца и будет описан в лекциях С. ⁠М. ⁠Львовского. Еще один увлекательный сюжет, возникающий в этих вычислениях и играющий ключевую роль в решении четномерной задачи — теория групп преобразований, порожденных отражениями, о которой я тоже немного расскажу.

От слушателей требуется знакомство с комплексными числами (основная теорема алгебры, формула Муавра…) интегралами (теорема Ньютона-Лейбница) и векторными пространствами любой размерности. Для полного понимания полезно также знакомство с многомерным дифференциальным исчислением (формула Стокса, гомологии де Рама), но необходимые сведения из этой части я надеюсь либо объяснить на пальцах, либо оставить на веру слушателей.

Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

Константин Валерьевич Логинов

Алгебра-2

читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных

Топология-1

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман

Математический анализ-2

читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

Второй курс

Тарас Евгеньевич Панов

Топология-3

читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия

читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Игоревич Ильин

Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм

Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса

 

Денис Николаевич Терешкин

Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов

Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин

Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов

Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев

Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат

Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Тарас Евгеньевич Панов

Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.

Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин

Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев

Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 

 

Алексей Викторович Пенской

Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Александр Борисович Калмынин

Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Алексей Викторович Пенской

 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.