Ольга Ромаскевич
Математика вокруг проблемы n тел: интегрируемые системы и КАМ-теория
О. Л. Ромаскевич планирует провести 4 занятия.
Если поступить очень жестоко и отобрать у математика карандаш и бумагу, он будет смотреть на небо в поисках новых задач. Вопрос о движении планет (в математическом мире встречающийся под кодовым названием «Задача n тел») является чрезвычайно сложным — настолько сложным, что даже для специальных подслучаев случая n=3 каждый год публикуется огромное количество работ. Разобрать все аспекты этой задачи невозможно даже за семестровый курс. Мы, однако, не испугаемся, и попробуем поиграться в математику, которая здесь возникает.
Основной мотивацией для нас будет задача двух тел: задача о движении одной планеты вокруг Солнца в предположении о том, что как будто бы никаких других планет в округе нет. В этом случае траектории системы описываются коническими сечениями, а замкнутые орбиты являются эллипсами. В реальности все намного сложнее, однако в первом приближении планеты действительно ходят по эллипсам вокруг Солнца. Этот факт был экспериментально подмечен Иоганном Кеплером, а затем выведен Ньютоном из законов всемирного тяготения. Мы пройдем их путем, а также окинем эту историю более современным взглядом.
Задача двух тел является одним из примеров так называемой интегрируемой гамильтоновой системы: динамической системы, в которой сохраняется не только энергия, а ещё достаточное количество дополнительных физических величин. Мы поговорим об общей теории таких систем, а также посмотрим на некоторые замечательные примеры.
Одной из целей курса является понятно объяснить, что такое теория Колмогорова-Арнольда-Мозера, рассматривая игрушечные примеры.
Программа курса
- 1. Проблема двух тел, закон всемирного тяготения и законы Кеплера. «Нам повезло»: теорема Бертрана, выделяющая ньютоновский потенциал из всех прочих.
- 2. Интегрируемые гамильтоновы системы: арнольдовские торы на примерах. Проблема двух тел, волчки, геодезические на поверхностях вращения и на эллипсоиде.
- 3. Сложность задачи трёх тел — появление хаоса в окрестности периодической траектории (по аналогии с возмущением геодезических на торах вращения). Подкова Смейла в окрестности орбиты Ляпунова.
- 4. Надежда на некоторую простоту задачи трёх тел — квазипериодичность траекторий. Теорема КАМ в игрушечной модели теории возмущений (косом произведении на цилиндре). Как возникает теория чисел в гамильтоновой динамике: диофантовы числа вращения и «выживающие торы».
Очень хочется, чтобы курс вышел понятным школьникам: целевой аудиторией таким образом будут 10–11 классы, однако вероятно, что и студентам будет интересно.
Очень желательно знакомство с анализом: не бояться дифференцировать функции одной (а лучше — нескольких переменных), оперировать с рядами, интегрировать функции одной переменной, решать простейшие дифференциальные уравнения, иметь интуитивное представление о мере. Также желательно уметь работать со скалярным и векторным произведением в трехмерном пространстве. Если что-то из этого вам не знакомо, бояться приходить не стоит, и без всего этого аппарата общий смысл происходящего будет ясен.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.