
Марина Файвушевна Прохорова
Нестандартный анализ
М. Ф. Прохорова планирует провести 4 занятия.
Все физики и многие математики любят говорить о «бесконечно малых приращениях параметра», «бесконечно больших значениях функции» и так далее. Однако математики при этом обычно подразумевают возможность формализовать свои рассуждения, рассматривая сходящуюся к нулю последовательность или неограниченно возрастающую функцию («для любого $\varepsilon\gt0$ существует $\delta\gt0$» и так далее). Перевод интуитивно понятных «бесконечно малых» на язык «$\varepsilon$–$\delta$» зачастую бывает очень утомителен. Нестандартный анализ, придуманный в 1960 году Абрахамом Робинсоном, позволяет обращаться с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами как с обычными числами (и это лишь малая часть того, что он позволяет делать).
С тех пор возникли разные подходы к построению нестандартного анализа. Я расскажу про один из них: теорию внутренних множеств (IST = Internal Set Theory) Эдварда Нельсона. В этой теории к обычной теории множеств добавляется новое свойство (предикат) «стандартности», то есть про объект мы теперь можем сказать, является ли он стандартным.
Например: 100500, $\pi$, $e$, $2\pi/e$ и так далее — стандартные числа, а вот бесконечно большие и бесконечно маленькие числа стандартными не являются (но существуют!). Логарифм и синус — стандартные функции, но существуют и нестандартные.
Взаимоотношения этого нового свойства «стандартности» с обычной теорией множеств регулируются тремя дополнительными аксиомами: идеализации (I), стандартизации (S) и переноса (T). При этом все теоремы «обычной» математики остаются верными (а неверных теорем не возникает), но у нас появляется дополнительный инструмент для их доказательства, а также расширяются выразительные возможности языка.
Я покажу, как использовать этот новый язык, на конкретных простых примерах. В частности, мы обсудим понятия предела, непрерывности, производной, интеграла, компактности и т.д., а также научимся решать «стандартные» задачи, используя «нестандартные» методы.
От слушателей требуется владение понятиями предела, непрерывности, производной. Желательно знакомство с элементарной теорией множеств.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.