Марина Файвушевна Прохорова

Нестандартный анализ

М. Ф. Прохорова планирует провести 4 занятия.

Все физики и многие математики любят говорить о «бесконечно малых приращениях параметра», «бесконечно больших значениях функции» и так далее. Однако математики при этом обычно подразумевают возможность формализовать свои рассуждения, рассматривая сходящуюся к нулю последовательность или неограниченно возрастающую функцию («для любого $\varepsilon\gt0$ существует $\delta\gt0$» и так далее). Перевод интуитивно понятных «бесконечно малых» на язык «$\varepsilon$–$\delta$» зачастую бывает очень утомителен. Нестандартный анализ, придуманный в 1960 году Абрахамом Робинсоном, позволяет обращаться с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами как с обычными числами (и это лишь малая часть того, что он позволяет делать).

С тех пор возникли разные подходы к построению нестандартного анализа. Я расскажу про один из них: теорию внутренних множеств (IST = Internal Set Theory) Эдварда Нельсона. В этой теории к обычной теории множеств добавляется новое свойство (предикат) «стандартности», то есть про объект мы теперь можем сказать, является ли он стандартным.

Например: 100500, $\pi$, $e$, $2\pi/e$ и так далее — стандартные числа, а вот бесконечно большие и бесконечно маленькие числа стандартными не являются (но существуют!). Логарифм и синус — стандартные функции, но существуют и нестандартные.

Взаимоотношения этого нового свойства «стандартности» с обычной теорией множеств регулируются тремя дополнительными аксиомами: идеализации (I), стандартизации (S) и переноса (T). При этом все теоремы «обычной» математики остаются верными (а неверных теорем не возникает), но у нас появляется дополнительный инструмент для их доказательства, а также расширяются выразительные возможности языка.

Я покажу, как использовать этот новый язык, на конкретных простых примерах. В частности, мы обсудим понятия предела, непрерывности, производной, интеграла, компактности и т.д., а также научимся решать «стандартные» задачи, используя «нестандартные» методы.

От слушателей требуется владение понятиями предела, непрерывности, производной. Желательно знакомство с элементарной теорией множеств.

Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

Константин Валерьевич Логинов

Алгебра-2

читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных

Топология-1

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман

Математический анализ-2

читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

Второй курс

Тарас Евгеньевич Панов

Топология-3

читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия

читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Игоревич Ильин

Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм

Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса

 

Денис Николаевич Терешкин

Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов

Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин

Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов

Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев

Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат

Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Тарас Евгеньевич Панов

Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.

Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин

Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев

Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 

 

Алексей Викторович Пенской

Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Александр Борисович Калмынин

Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Алексей Викторович Пенской

 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.