Виктор Алексеевич Клепцын
Рациональные приближения действительных чисел
В. А. Клепцын планирует провести 3 занятия.
Действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А насколько хорошим может быть такое приближение — в сравнении с его сложностью? Например, оборвав десятичную запись числа $x$ на $k$-й цифре после запятой, мы получим приближение $x\approx a/10^k$ с ошибкой порядка $1/10^k$. И вообще, зафиксировав знаменатель $q$ у приближающей дроби, мы точно можем получить приближение с ошибкой порядка $1/q$ (точно не больше $1/2q$, и в среднем $1/4q$). А можно ли сделать лучше?
Знакомое всем приближение $\pi\approx 22/7$ даёт ошибку порядка $1/1000$ — то есть явно сильно лучше, чем можно было бы ожидать. А почему? Повезло ли нам, что у $\pi$ такое приближение есть? Оказывается, что для любого иррационального числа есть бесконечно много дробей $p/q$, приближающих его лучше, чем $1/q^2$. Это утверждает теорема Дирихле — и мы начнём курс с её немного нестандартного доказательства.
А именно, мы посмотрим на ряды Фарея — выписанные по возрастанию несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим данного числа. Оказывается, что они удовлетворяют нескольким совершенно удивительным свойствам: например, каждое из них это «сумма двоечника» (числитель с числителем, знаменатель со знаменателем) своих соседей. Из свойств рядов Фарея мы и выведем теорему Дирихле.
Программа курса
- 1. Ряды Фарея, их свойства. Теорема Дирихле о приближаемости.
- 2.cЦепные дроби, их свойства. Их связь с рядами Фарея, второе доказательство теоремы Дирихле.
- 3. (если позволит время) Не-приближаемость алгебраических чисел, явный пример трансцендентного числа.
- 4. Зиккурат Дженкинса–Ноймана, два его описания и теорема о самоподобии множества его вершин.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.