Виктор Алексеевич Клепцын
Случайные метрики на сфере
В. А. Клепцын планирует провести 2 занятия.
Из миллиона независимых подбрасываний честной монеты, скорее всего, будет около полумиллиона орлов; это — утверждение закона больших чисел. Явление следующего порядка — центральная предельная теорема, утверждающая, что отклонение от среднего значения будет порядка корня из числа подбрасываний — порядка тысяч. Более того, поделив отклонение на корень из числа подбрасываний, мы получаем случайное отклонение; его распределение с ростом числа подбрасываний становится всё более похожим на некоторое конкретное распределение.
В задаче, которой будет посвящена лекция, мы увидим аналогичный эффект в гораздо более сложной ситуации. Возьмём большое число — $N$ — единичных квадратиков. Из этих квадратиков можно склеить (топологическую) сферу — например, можно склеить длинный цилиндр и заклеить его концы, или склеить «подушку» из двух больших квадратов со стороной $\sim\sqrt{N/2}$. Способов сделать это очень и очень много; выберем из них один случайным образом. Как будет выглядеть такая сфера в типичном случае?
В частности — эта сфера снабжена «римановой» метрикой, устроенной следующим образом: расстояние между точками есть длина кратчайшего пути между ними, а длина пути определяется как сумма (естественно определённых) задаваемых им длин внутри пересекаемых им квадратиков. Как ведёт себя с ростом $N$ диаметр такой сферы? На что она становится похожей при стремлении $N$ к бесконечности?
Оказывается, — это доказали в 2002 году Шассэн и Шеффер — диаметр сферы с такой случайной метрикой ведёт себя как корень четвёртой степени (а вовсе не квадратный!) из числа квадратиков $N$. Частичный же ответ на второй вопрос даёт теорема, полученная в 2011-м году одновременно и независимо Жаном-Франсуа Ле Галлем и Грегори Мьермонтом: она утверждает, что если метрику сжать в $\sqrt[4]{N}$ раз, то полученная случайная метрика по своему распределению будет всё больше и больше похожа на некоторую случайную метрику. При этом сфера относительно этой случайной метрики с вероятностью 1 имеет (хаусдорфову) размерность 4 — а вовсе не 2!
Более того, для этой случайной метрики существует — гипотетическое! — описание в других терминах: как последовательности независимых «возмущений» обычной «круглой» метрики. И вот для этого другого описания трудным открытым вопросом является придание этому («физическому») описанию формального математического смысла — в частности, доказательство соответствующих теорем сходимости.
Хотя сюжет и довольно сложный, интуитивного понимания понятия вероятности и некоторого знакомства с комбинаторикой для понимания большей части лекции должно быть достаточно.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.