Александр Александрович Гайфуллин
Изгибаемые многогранники
А. А. Гайфуллин планирует провести 4 занятия.
Теория изгибаемых многогранников восходит к классическим работам 19-го века А. М. Лежандра, О. Коши, Ж. Г. Дарбу, Р. Брикара и др. Изгибаемый многогранник — это многогранник (точнее, поверхность многогранника) с жёсткими гранями и шарнирами (петлями) в ребрах, который допускает изгибания с непрерывным изменением двугранных углов в ребрах. По сути вопрос об изгибаемости многогранников есть алгебраический вопрос о совместности систем полиномиальных уравнений специального вида. Тем не менее, эта область исследований естественно имеет и геометрические аспекты, а также важные связи с топологией и теорией эллиптических функций.
Очень большую роль в развитии теории изгибаемых многогранников сыграла работа Р. Брикара (1897), в которой были построены и классифицированы самопересекающиеся изгибаемые октаэдры и доказано отсутствие несамопересекающихся изгибаемых октаэдров. В дальнейшем, важнейшими продвижениями были такие: построение несамопересекающихся изгибаемых многогранников (Р. Коннелли, 1977), доказательство того, что «почти все» многогранники являются неизгибаемыми (Х. Глак, 1970-е, А. Л. Фогельзангер, 1980-е), доказательство гипотезы о кузнечных мехах, утверждающей, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания (И. Х. Сабитов, 1996). Большая часть результатов последнего времени относится к многомерным обобщениям изгибаемых многогранников. В частности, лектором построены самопересекающиеся изгибаемые многогранники всех размерностей (2013) и доказан многомерный аналог теоремы Сабитова (2012).
В мини-курсе планируется сосредоточиться на геометрически наглядном классическом случае изгибаемых многогранников в трёхмерном пространстве. Тем не менее, на этом примере планируется рассказать и о некоторых новых идеях и связях, возникших первоначально в многомерной ситуации, но оказывающихся интересными и полезными и в трёхмерном случае.
Программа курса
- 1. Теорема Глака о неизгибаемости многогранников общего положения.
- 2. Геометрическая конструкция изгибаемых многогранников Брикара 1-го и 2-го типа.
- 3. Параметризации изгибаемых октаэдров и эллиптические функции. Изгибаемые многогранники в трёхмерной сфере: 3 типа сферических октаэдров Брикара и 4-ый экзотический тип.
- 4. Формула Шлефли: сохранение полной средней кривизны многогранника при его изгибаниях.
- 5. Теорема Сабитова: сохранение объёма многогранника при его изгибаниях.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.