Алексей Игоревич Буфетов
RSK-алгоритм и симметрические многочлены
А. И. Буфетов планирует провести 4 занятия.
В последнее время комбинаторика диаграмм Юнга и теория симметрических многочленов вызывает дополнительный интерес из-за ряда новых приложений в теории случайных матриц, теории представлений и задачах математической физики. Основная цель курса — дать комбинаторное введение в этот круг вопросов. В качестве приложений мы ответим, в частности, на следующие вопросы:
- 1. Почему любая последовательность различных натуральных чисел длины $kl+1$ имеет либо возрастающую подпоследовательность длины $k+1$, либо убывающую подпоследовательность длины $l+1$?
- 2. Сколько существует последовательностей фиксированной длины из чисел $1,\ldots,k$, таких что длина максимальной возрастающей подпоследовательности равна фиксированному числу $m$?
- 3. Пусть у нас есть площадь (прямоугольник со сторонами $K$ и $L$) и $N$ кубиков. Сколькими способами мы можем построить на этой площади мавзолей? Симметричный мавзолей?
Программа курса
- 1. Стандартные и полустандартные таблицы Юнга. Алгоритм Робинсона-Шенстеда. Биекция между словами и парами таблиц. Длина максимальной возрастающей подпоследовательности в слове. Теорема Грина (интерпретация длин строк и столбцов в терминах возрастающих и убывающих подпоследовательностей).
- 2. Алгоритм Робинсона-Шенстеда-Кнута (RSK). Биекция с парами полустандартных таблиц. Эквивалентность слов по Кнуту. $^\ast$Симметрия. $^\ast$Дуальный RSK. $^\ast$Диаграммы роста.
- 3. Симметрические многочлены. Мономиальные, элементарные и полные симметрические многочлены. Многочлены Шура. Числа Костки. Тождество Коши. Теоремы о связи различных наборов многочленов.
- 4. Вычисление многочлена Шура в единицах и в геометрической прогрессии. Число стандартных и полустандартных таблиц, формула крюков, число плоских разбиений, формула Мак-Магона. $^{\ast\ast}$Представления симметрической группы.
$^\ast$ — программа «с превышением»;
$^{\ast\ast}$ — будет разобрано в виде ряда задач.
Для понимания курса не требуется никаких знаний, выходящих за рамки программы 9-го класса.
Основной акцент будет сделан на комбинаторные приложения, в то время как связь с представлениями симметрической группы будет разобрана в виде ряда задач для слушателей, знакомых с основами теории представлений конечных групп.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.