Евгений Юрьевич Смирнов

Плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы

Е.Ю.Смирнов планирует провести 4 занятия

Разобьем натуральное число на слагаемые и запишем эти слагаемые в клетках прямоугольной таблицы так, чтобы они нестрого убывали по строчкам и столбцам. Полученный объект называется плоским разбиением (plane partition). Плоские разбиения удобно представлять себе как башни из детских кубиков (трёхмерные диаграммы Юнга): для этого каждое слагаемое нужно заменить на столбик кубиков соответствующей высоты. Производящая функция для количества плоских разбиений числа n была вычислена П.Макмагоном в конце XIX в. Она обобщает знаменитую производящую функцию Эйлера для числа разбиений (т.е. обычных диаграмм Юнга).

Знакочередующиеся матрицы (alternating sign matrices) — это квадратные матрицы, все элементы которых равны 0, 1 или -1, причём в каждой строке и каждом столбце 1 и -1 чередуются, а единиц на одну больше, чем минус единиц. В частности, все матрицы перестановок являются знакочередующимися. Знакочередующиеся матрицы были введены У.Миллсом, Д.Роббинсом и Г.Рамси в начале 1980-х годов для решения задач статистической механики -- для описания так называемой модели квадратного льда. Они же сформулировали гипотезу о числе таких матриц.

Эта гипотеза была доказана Зейльбергером и Купербергом в начале 1990-х годов. Замечательным образом оказалось, что число знакочередующихся матриц равняется числу плоских разбиений, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям симметрии. Мы обсудим это утверждение, а также рассмотрим ряд других задач из алгебры, теории представлений и комбинаторики, в которых возникают плоские разбиения.

Примерный план занятий

  1. 1. Разбиения и диаграммы Юнга. Производящая функция для разбиений. Формула Якоби для тройного произведения. Гауссовы биномиальные коэффициенты и q-комбинаторика.
  2. 2. Плоские разбиения (трёхмерные диаграммы Юнга). Подсчёт числа плоских разбиений внутри параллелепипеда: сведение к задаче о непересекающимся путям, трюк Линдстрема-Гесселя-Виенно, формула Макмагона. Циклически-симметричные плоские разбиения, формула Макдональда.
  3. 3. Определитель Вандермонда и формула Краттенталера. Многочлены Шура, их вычисление при помощи полустандартных таблиц Юнга. Производящие функции для плоских разбиений как специализации многочленов Шура. Конденсация определителей по Доджсону.
  4. 4. Знакочередующиеся матрицы (alternating sign matrices) и «квадратный лёд». Вполне симметричные самодвойственные плоские разбиения. Гипотеза о знакочередующихся матрицах и её уточнения (Zeilberger, Kuperberg).

Курс рассчитан на младшекурсников, а также на школьников, которые знают, что такое определитель. Также полезно иметь опыт обращения с производящими функциями и не бояться комбинаторики.

Материалы


E-mail оргкомитета:

dubna@mccme.ru