Евгений Юрьевич Смирнов
Плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы
Е.Ю.Смирнов планирует провести 4 занятия
Разобьем натуральное число на слагаемые и запишем эти слагаемые в клетках прямоугольной таблицы так, чтобы они нестрого убывали по строчкам и столбцам. Полученный объект называется плоским разбиением (plane partition). Плоские разбиения удобно представлять себе как башни из детских кубиков (трёхмерные диаграммы Юнга): для этого каждое слагаемое нужно заменить на столбик кубиков соответствующей высоты. Производящая функция для количества плоских разбиений числа n была вычислена П.Макмагоном в конце XIX в. Она обобщает знаменитую производящую функцию Эйлера для числа разбиений (т.е. обычных диаграмм Юнга).
Знакочередующиеся матрицы (alternating sign matrices) — это квадратные матрицы, все элементы которых равны 0, 1 или -1, причём в каждой строке и каждом столбце 1 и -1 чередуются, а единиц на одну больше, чем минус единиц. В частности, все матрицы перестановок являются знакочередующимися. Знакочередующиеся матрицы были введены У.Миллсом, Д.Роббинсом и Г.Рамси в начале 1980-х годов для решения задач статистической механики -- для описания так называемой модели квадратного льда. Они же сформулировали гипотезу о числе таких матриц.
Эта гипотеза была доказана Зейльбергером и Купербергом в начале 1990-х годов. Замечательным образом оказалось, что число знакочередующихся матриц равняется числу плоских разбиений, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям симметрии. Мы обсудим это утверждение, а также рассмотрим ряд других задач из алгебры, теории представлений и комбинаторики, в которых возникают плоские разбиения.
Примерный план занятий
- 1. Разбиения и диаграммы Юнга. Производящая функция для разбиений. Формула Якоби для тройного произведения. Гауссовы биномиальные коэффициенты и q-комбинаторика.
- 2. Плоские разбиения (трёхмерные диаграммы Юнга). Подсчёт числа плоских разбиений внутри параллелепипеда: сведение к задаче о непересекающимся путям, трюк Линдстрема-Гесселя-Виенно, формула Макмагона. Циклически-симметричные плоские разбиения, формула Макдональда.
- 3. Определитель Вандермонда и формула Краттенталера. Многочлены Шура, их вычисление при помощи полустандартных таблиц Юнга. Производящие функции для плоских разбиений как специализации многочленов Шура. Конденсация определителей по Доджсону.
- 4. Знакочередующиеся матрицы (alternating sign matrices) и «квадратный лёд». Вполне симметричные самодвойственные плоские разбиения. Гипотеза о знакочередующихся матрицах и её уточнения (Zeilberger, Kuperberg).
Курс рассчитан на младшекурсников, а также на школьников, которые знают, что такое определитель. Также полезно иметь опыт обращения с производящими функциями и не бояться комбинаторики.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.