Виктор Алексеевич Клепцын
Асимптотические задачи комбинаторики
В.А.Клепцын планирует провести 4 занятия.
Многие интересные задачи в комбинаторике формулируются в терминах «как выглядит случайный большой объект» или «сколько есть таких объектов данного размера». К примеру, в случайной последовательности нулей и единиц большой длины n нулей и единиц примерно поровну, а в разложении случайной перестановки n элементов в произведение независимых циклов, скорее всего, есть «большой» цикл (имеющий сравнимую с n длину), а всего циклов порядка логарифма n.
Оказывается, что задачи «подсчитать количество» и «найти предельный вид» зачастую связаны друг с другом. Мы разберём такую связь, решив (лишь на физическом уровне строгости!) несколько таких задач:
1) Как выглядит типичное разбиение числа n в сумму невозрастающих слагаемых? Какова асимптотика количества таких разбиений (формула Харди-Рамануджана)?
2) Что такое аффинная длина, и как выглядит типичная ломаная, идущая из вершины (0,1) в вершину (1,0) единичного квадрата, если её вершины принадлежат решётке с шагом 1/n?
3) Как посчитать, сколькими способами на доминошки можно разрезать данную плоскую фигуру? Как выглядит типичное разбиение ацтекского бриллианта на доминошки? Откуда берётся «полярный круг», за которым все доминошки оказываются «замороженными»? И какое к этому отношение имеет угол кристалла и кубики, сложенные в углу комнаты?Курс предназначен для студентов и школьников, знакомых с началами анализа.
Материалы
Литература
- А. М. Вершик, Статистическая механика комбинаторных разбиений и их предельные конфигурации, Функциональный анализ и его приложения, 30:2 (1996), 19--39.
- А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотика максимальной и типичной размерностей неприводимых представлений симметрической группы, Функциональный анализ и его приложения, 19:1 (1985), 25--36.
- А. М. Вершик, Предельные формы типичных геометрических конфигураций и их приложения. В сб.: Глобус. Общематематический семинар. Выпуск 2, ред.: М. А. Цфасман, В. В. Прасолов. М.: МЦМНО, 2005, с. 103--125.
- Ф. Петров, Два элементарных подхода к предельным формам диаграмм Юнга, Записки научных семинаров ПОМИ, 370, ПОМИ, СПб., 2009, 111--131.
- H. Cohn, R. Kenyon, J. Propp, A variational principle for domino tilings, J. Amer. Math. Soc., 14(2001), no. 2, 297-346. (ArXiv:math/0008220)
- A. Okounkov, Limit shapes, real and imaginary
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.