Роман Михайлович Фёдоров
Категории и главные расслоения. Или: чем отличается изоморфизм от канонического изоморфизма?
Р.М.Фёдоров планирует провести 4 занятия.
Изоморфные объекты (например группы или векторные пространства) практически неразличимы — это одна из первых вещей, которые объясняют студенту в курсе абстрактной алгебры. Например, два пятимерных векторных пространства (над одним полем) неразличимы... но так ли это? Оказывается, чтобы объекты можно было считать одинаковыми, нужно, чтобы изоморфизм между ними был единственным или хотя бы чтобы можно было выбрать «канонический» изоморфизм. В противном случае могут встретиться нетривиальные «семейства» объектов. Мы приведем пример такого семейства векторных пространств (параметризованного окружностью), что невозможно (непрерывно) отождествить все эти пространства (хотя можно отождествить любые два).
Мы подробно обсудим этот феномен и классифицируем такие семейства в терминах главных расслоений. Я расскажу о применениях этих понятий в топологии, алгебре и геометрии. Если позволит время, я расскажу об одной (алгебраической) гипотезе, связанной с главными расслоениями, в которой Ивану Панину и мне удалось продвинуться во время ЛШСМ-2012.
От слушателей требуется знание основ абстрактной алгебры (понятия групп, векторных пространств, их изоморфизмов), и основ топологии (открытые множества и непрерывные отображения).
Примерный план
- 1. Нетривиальные семейства векторных пространств: векторные расслоения.
- 2. Категории, изоморфизмы объектов, группы автоморфизмов.
- 3. Локально тривиальные семейства объектов на топологическом пространстве, главные расслоения, пучки, неабелевы когомологии.
- 4. Топологии на алгебраических пространствах: топология Зарисского и этальная топология. Редуктивные группы. Гипотеза Гротендика-Серра.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.