Дмитрий Сергеевич Челкак
Случайные блуждания на плоскости и их пределы: простое случайное блуждание, LERW и SAW
Д.С.Челкак планирует провести 4 занятия.
Ассистент на курсе — Ольга Ромаскевич.
Как выглядит случайная кривая на плоскости? И что это вообще такое? Классический пример — простое случайное блуждание на квадратной решетке: пьяница стартует из бара в начале координат, проходит один квартал в случайно выбранном направлении (на север, запад, юг или восток), после чего повторяет процедуру на каждом перекрестке, независимо от того, что происходило ранее. Какие у него шансы попасть на нужную окраину города? Или вернуться в исходный бар, если город бесконечен? На первых двух лекциях мы обсудим связи этой, изначально чисто комбинаторной задачи, со школьной физикой и комплексным анализом. В частности, мы поговорим о броуновском движении: что происходит, если размер одного шага нашего процесса - очень маленький (например, мы глядим на Манхэттен из пролетающего самолета, или на пыльцу в капле воды через микроскоп).
А как можно естественным образом определить случайную несамопересекающуюся кривую на плоскости и какими свойствами будут обладать такие кривые? Третья и четвертая лекции будут посвящены современным результатам в этом направлении: случайному блужданию с удаленными петлями (LERW = Loop Erased Random Walk) и самоизбегающему случайному блужданию (SAW = Self Avoiding Walk). Для модели LERW мы постараемся объяснить основную идею, позволяющую изучать предел таких блужданий при измельчении шага решетки, а также ее связь с другой важной конструкцией - случайным остовным деревом заданного графа. Для модели SAW будет рассказано доказательство важного недавнего результата (2010г.) о перечислении несамопересекающихся ломаных заданной длины, нарисованных на шестиугольной решетке.
Курс предназначен для студентов и школьников, знакомых с началами анализа и имеющими общее представление о теории вероятностей. Третья и четвертая лекции независимы друг от друга и от первых двух: их можно слушать, если вы уже обладаете базовыми знаниями о случайном блуждании на плоскости (или же посетили первые две лекции). По ходу дела будут появляться листочки с задачами к лекциям.
Лекции 1–2. Простое случайное блуждание на квадратной решетке. Вероятность выхода из области через заданную дугу и задача Дирихле для дискретно-гармонических функций. Функция Грина в области как сумма по траекториям случайного блуждания. Неограниченность свободной функции Грина и возвратность случайного блуждания на плоскости.
Броуновское движение как предел случайных блужданий на измельчающихся решетках. Аналитические функции, конформные отображения и свойство конформной инвариантности вероятности выхода из области через заданную дугу. Обсуждения свойства конформной инвариантности траекторий броуновского движения как следствия конформной инвариантности вероятностей выхода.
Лекция 3. LERW: случайное блуждание с удаленными петлями. Независимость вероятностного распределения получаемых траекторий от процедуры удаления петель: «с начала» или «с конца». Мартингальное свойство дискретного ядро Пуассона по отношению к растущей кривой. Обсуждение конформной инвариантности предельных траекторий (на измельчающихся решетках) случайных блужданий с удаленными петлями и их свойств.
Лекция 4. SAW: самоизбегающие блуждания. Определение модели, свойство субаддитивности, константа связности. Построение дискретно-аналитической наблюдаемой как суммы по путям с комплексным весом. Доказательство теоремы H. Duminil-Copin'а и С.К. Смирнова (2010) о точном значении константы связности для шестиугольной решетки. Обсуждение конформной инвариантности предельных траекторий: чего не хватает для полного доказательства?
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.