Иван Александрович Панин
Кобордизмы (алгебраические) и их применение
И.А.Панин планирует провести 4 занятия
В курсе из 4-х лекций будет рассказано о положительном решении одной давно стоявшей наивной задачи (см. формулировку ниже) и ее связи с кобордизмами. Тем самым слушатели познакомятся с алгебраическими кобордизмами, введенными в математику около 2000 года Воеводским с одной стороны и Левиным и Морелем с другой. А так же слушатели познакомятся и с классическими кобордизмами, интенсивно разработанными школами Тома, Милнора и Новикова. Курс рассчитан на студентов.
Замечание. Пусть целое число u таково, что уравнение T1² +T2² + … + Tn² = u² Tn²+ 1; имеет решение в рациональных числах. Домножив такое решение на подходящее целое число, можно избавиться от знаменателей и получить целочисленное решение. Далеким обобщением этого упражнения является следующая
Задача: Пусть u=f(z1, …, zn)/g(z1, …, zn) — частное двух комплексных многочленов от n переменных, причем g(0, …, 0) не ноль.
Предположим, что имеется целое к > 0 такое, что u является суммой к квадратов рациональных функций от n переменных. Верно ли, что тогда u можно представить в виде суммы к квадратов рациональных функций pi/qi от n переменных, регулярных в окрестности начала координат? (т.е. для каждого qi (0, …, 0) не ноль).
Если n=1, то решение задачи состоит в небольшой модификации рассуждения про избавление от знаменателей. При n > 1 столь наивный подход не работает. Будет объяснено, что такое алгебраические кобордизмы и как их применение решает положительно указанную задачу.
Замечание. Конечно основная трудность в том, что исходное представление функции u в виде суммы k квадратов могло использовать рациональные функции не регулярные в окрестности начала координат. Задача была решена лектором положительно (см. www.math.uiuc.edu).
В 2009 году решение было опубликовано в Inventions Mathematicae. Кажется правдоподобным, что метод может сработать и в решении других родственных задач.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.