Николай Андреевич Тюрин
Предтеория инстантонов
Н.А.Тюрин планирует провести 4 занятия
Есть такое правило — чем короче название статьи, тем длиннее аннотация.
Однако это правило очень грубое: если назвать этот мини-курс просто «Инстантоны», то тогда не придется объяснять что такое предтеория. Но последний термин и так понятен: теория и история — две стороны одной медали, и если есть предыстория, то нетрудно догадаться, что такое предтеория. Это небольшое введение в большую и важную теорию.
Тем более, что сам термин «инстантон» достаточно широк (или многолик, как и его собрат — солитон). Если «погуглить его» (или «погуглить по нему»?), то результат будет совсем не тот, который будет нужен нам, — в первую очередь вы получите неоконченную статью из Википедии, из которой будет совершенно непонятно, почему речь у нас пойдет о компактных четырехмерных римановых многообразиях, а не о пространстве–времени Минковского, в котором только и возможны такие штуки, как мнемонизация времени, поворот Вика и т.п. Мы будем рассматривать другую, на первый взгляд не физическую, а математическую ситуацию: гладкое четырехмерное риманово многообразие X, снабженное римановой метрикой g, векторное расслоение E над X со структурной группой SU(2), эрмитовы связности на этом расслоении и их кривизны. Нашей главной задачей будет ознакомиться (пусть и поверхностно) со словарем предмета, который называется «Калибровочные теории», построить функционал Янга-Миллса на пространстве эрмитовых связностей на расслоении E в присутствии метрики g и определить его минимумы. Эти минимумы мы назовем инстантонами. Таким образом, инстантон для нас — это эрмитова связность на расслоении, обладающая некоторым свойством минимальности.
- На первом занятии мы сначала кратко напомним что такое гладкое многообразие и риманова метрика на нём (причем нам для работы не надо будет вводить ни связности Леви-Чивита, ни кривизны). Далее, мы построим пространство форм, из которых соорудим комплекс де Рама. Воспользовавшись метрикой, построим оператор Ходжа и разложение Ходжа. Поскольку оператор Ходжа действует как инволюция на пространстве 2-форм, то возникает понятие автодуальности и антиавтодуальности. В качестве приложения мы покажем как теория гармонических форм Ходжа связана с уравнением Максвелла.
- На втором занятии будут определены понятия связности и кривизны (потенциала и поля на языке физики) на векторных расслоениях. Перед этим, естественно, мы кратко напомним что такое расслоение. Мы обсудим основные свойства связностей и кривизн, введём действие калибровочной группы и представим простейшие примеры калибровочно инвариантных уравнений. Калибровочно инвариантные уравнения — не зависят от выбора калибровки, в каком-то смысле «от выбора координат», поэтому они играют роль законов природы и очень важны в физике.
- На третьем занятии мы введём функционал Янга-Миллса и покажем его калибровочную инвариантность. Нетрудно показать, что его минимумы есть в точности решения уравнения антиавтодуальности (это легко следует из теории Ходжа). Если останется время и силы мы обсудим главный пример — случай, когда X — кэлерово многообразие, метрика g — кэлерова, и инстантон тогда соответствует структуре стабильного голоморфного расслоения на E.
Всё это мы, конечно, обсудим очень поверхностно, «чисто феноменологически», но как и всякая «пред...» — предваряет, то и мой рассказ будет трейлером к большому курсу, который я собираюсь прочесть на математическом факультете ВШЭ в грядущем учебном году.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.