Владимир Юрьевич Протасов
Выпуклая геометрия: от работ Минковского к современным задачам оптимизации
В.Ю.Протасов планирует провести 4 занятия
Основы геометрии выпуклых тел и выпуклых многогранников были заложены в работах Г. Минковского к началу XX века. Долгое время выпуклая геометрия справедливо считалась чрезвычайно красивой, хотя и совершенно бесполезной для приложений областью математики. Ее важность для прикладных задач выяснилась много позже, через 60–70 лет, когда развитие выпуклой оптимизации (называемой еще выпуклым программированием) «уперлось» в некоторые факты о выпуклых телах. Дело в том, что ряд классических неравенств и оценок, полученных в начале XX века для произвольных выпуклых тел, несильно зависят (либо не зависят вовсе) от размерности пространства. Это позволило избежать «проклятия размерности» — традиционной беды, когда сложность задачи катастрофически растет с увеличением числа переменных. Сейчас алгоритмы выпуклой оптимизации содержатся в большинстве пакетов прикладных компьютерных программ.
Мы начнем с симметризации выпуклых тел по Минковскому и докажем неравенство Брунна-Минковского (методом Б.Н.Делоне). С его помощью установим некоторые свойства центра тяжести, в частности, неравенство Грюнбаума-Хаммера об объемах. На этих результатах основан метод отрезающих плоскостей Левина-Ньюмена, один из первых алгоритмов выпуклой оптимизации. Затем определим эллипсоиды Лёвнера и Джона, которые приведут нас к методу эллипсоидов Немировского-Шора, и далее — к теореме Хачияна о полиномиальной разрешимости задач линейного программирования. Далее докажем теорему Минковского о многограннике с заданными площадями и направлениями граней. Если останется время, поговорим о наиболее современном и эффективном методе выпуклой оптимизации — методе внутренней точки.
Доказательства, как правило, будут элементарны и доступны школьникам. Единственное, что требуется — пространственное воображение.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.