Московский центр непрерывного математического образования
En
  • Главная
  • / ЛШСМ
  • / 2011
  • Программа Львовский
    Архив по годам200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015201620172018201920202021202220232024


  • Программа
  • Преподаватели
  • Материалы

Сергей Михайлович Львовский

«Парадокс» Банаха-Тарского.

С.М.Львовский планирует провести 4 занятия

Парадоксом Банаха-Тарского называют следующее удивительное утверждение, доказанное в 20-х годах прошедшего века: два шара разных радиусов (а на самом деле — более или менее любые два тела в пространстве) равносоставлены. Это означает, что один шар можно таким образом разбить на конечное число попарно не пересекающихся частей, что из подмножеств пространства, равных этим частям (то есть переводящихся в них движением) можно без зазоров и перекрытий сложить второй шар. При этом существенно, что речь идет именно о пространственных телах: два плоских многоугольника разной площади равносоставленными не являются!

На первый взгляд это утверждение кажется совершенно противоречащим интуиции (можно ли из яблока сделать два яблока?), и обычно его приводят в качестве иллюстрации разницы между предметами реального мира и описывающими их математическими абстракциями. Все это так, однако же за сформулированной нами теоремой стоит красивая и математика, и именно этим парадокс Банаха-Тарского в первую очередь интересен.

Программа.

  1. Равносоставленность в наивном смысле: что можно на плоскости и чего нельзя в пространстве. Равносоставленность в точном смысле. Теорема Кантора-Бернштейна для равномощности и равносоставленности. Подготовка к конструкции Банаха-Тарского.
  2. Что такое группа. Примеры групп. Как из одного абстрактного яблока сделать два абстрактных яблока.
  3. Возвращаемся к геометрии: почему любые два тела равносоставлены.
  4. * (Если будет время и желание.) А почему этот же номер не проходит на плоскости?
Предварительные сведения. Сверх школьной программы необходимо знакомство с понятием множества и примерами счётных и несчётных множеств.

Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

 

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

 

Константин Валерьевич Логинов
Алгебра-2
читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных
Топология-1
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман
Математический анализ-2
читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Второй курс

 

Тарас Евгеньевич Панов
Топология-3
читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Викторович Пенской
Дифференциальная геометрия
читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Игоревич Ильин
Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм
Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
 
Денис Николаевич Терешкин
Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов
Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин
Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов
Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев
Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат
Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Тарас Евгеньевич Панов
Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.
Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин
Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев
Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 
 
Алексей Викторович Пенской
Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
 
Александр Борисович Калмынин
Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Алексей Викторович Пенской
 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.
 
uchast@mccme.ru
карта

МЦНМО

+7 (499) 241-05-00 adm@mccme.ru

НМУ

+7 (499) 241-40-86 +7 (499) 795-10-15 ium@mccme.ru

Книги

+7 (495) 745-80-31 biblio@mccme.ru
  • Адрес:
  • Москва, 119002, Большой Власьевский переулок, 11
  • Copyright ©1996–, МЦНМО