Сергей Михайлович Львовский
«Парадокс» Банаха-Тарского.
С.М.Львовский планирует провести 4 занятия
Парадоксом Банаха-Тарского называют следующее удивительное утверждение, доказанное в 20-х годах прошедшего века: два шара разных радиусов (а на самом деле — более или менее любые два тела в пространстве) равносоставлены. Это означает, что один шар можно таким образом разбить на конечное число попарно не пересекающихся частей, что из подмножеств пространства, равных этим частям (то есть переводящихся в них движением) можно без зазоров и перекрытий сложить второй шар. При этом существенно, что речь идет именно о пространственных телах: два плоских многоугольника разной площади равносоставленными не являются!
На первый взгляд это утверждение кажется совершенно противоречащим интуиции (можно ли из яблока сделать два яблока?), и обычно его приводят в качестве иллюстрации разницы между предметами реального мира и описывающими их математическими абстракциями. Все это так, однако же за сформулированной нами теоремой стоит красивая и математика, и именно этим парадокс Банаха-Тарского в первую очередь интересен.
Программа.
Предварительные сведения. Сверх школьной программы необходимо знакомство с понятием множества и примерами счётных и несчётных множеств.
- Равносоставленность в наивном смысле: что можно на плоскости и чего нельзя в пространстве. Равносоставленность в точном смысле. Теорема Кантора-Бернштейна для равномощности и равносоставленности. Подготовка к конструкции Банаха-Тарского.
- Что такое группа. Примеры групп. Как из одного абстрактного яблока сделать два абстрактных яблока.
- Возвращаемся к геометрии: почему любые два тела равносоставлены.
- * (Если будет время и желание.) А почему этот же номер не проходит на плоскости?
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.