Александр Игоревич Буфетов
Севак Мартинович Мкртчян
Ортогональные полиномы
А.И. Буфетов и С.М. Мкртчян планируют провести 4 занятия.
Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином Pn(x) степени n со старшим коэффициентом 1, такой что величина
maxx∈[–1,1]|Pn(x)|принимает наименьшее возможное значение.
Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы даются формулой
Последовательность полиномов Чебышева — классический пример семейства ортогональных полиномов. Общее определение таково.
P0(x) =1 Pn(x) =21-ncos(n arccos x), n>1. Рассмотрим на отрезке [a,b] положительную непрерывную функцию ρ(x). Семейство полиномов Pn, n∈ℕ∪{0}, называется семейством ортогональных полиномов с весом, если
- 1. полином Pn имеет степень n;
- 2. при n1≠n2 выполнено
∫ab Pn1(x)Pn2(x)ρ(x) dx=0.Такое семейство {Pn} единственно с точностью до умножения каждого Pn на ненулевую константу. Упражнение для читателя: с каким весом ортогональны на отрезке [–1,1] полиномы Чебышева?
Если [a,b]=[–1,1] а ρ(x)≡1, то возникают так называемые полиномы Лежандра, впервые возникшие в работе Лежандра о движении планет в Солнечной системе и возникающие в самых разных областях математики.
Например, рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные числа этой матрицы? Мы увидим, что ключевую роль в этой задаче играют как раз полиномы Лежандра.
Для понимания курса достаточно уметь интегрировать элементарные функции в объёме программы средней школы; таким образом, курс доступен школьникам.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.