Владимир Юрьевич Протасов

Вариационное исчисление: новая жизнь двух старых задач

В.Ю.Протасов планирует провести 4 занятия

Более 300 лет назад Ньютон поставил свою «аэродинамическую задачу»: среди всех выпуклых поверхностей, имеющих данную высоту и содержащих круг данного радиуса в основании, найти ту, которая имеет наименьшее сопротивление (при движении в идеальном газе или жидкости). Она стала одной из первых задач вариационного исчисления — науки о нахождении минимумов функций в бесконечномерных пространствах. Ньютон нашёл форму оптимальной поверхности. Лишь совсем недавно выяснилось, что его решение не совсем верно. Оказывается, несимметричные поверхности могут быть более обтекаемы, а невыпуклые поверхности могут иметь сколь угодно малое сопротивление. Наконец (что кажется вовсе невероятным) существуют поверхности, сопротивление которых равно нулю! Причём их построение использует лишь «школьную» элементарную геометрию. С точки зрения оптики, такие поверхности, будучи сделанными из зеркального материала, абсолютно невидимы в одном направлении. Мы разберём два возможных подхода к решению задачи Ньютона, для чего потребуется пройти основы вариационного исчисления. Затем построим невыпуклые поверхности со сколь угодно малым сопротивлением. Для этого понадобятся некоторые геометрические свойства квадрик.

Задача о замкнутых геодезических на выпуклой поверхности также относится к вариационному исчислению. Геодезическая — это кривая, локально-кратчайшая в каждой точке. В 1906 г. Пуанкаре высказал гипотезу о существовании, как минимум, трех замкнутых несамопересекающихся геодезических на гладкой выпуклой поверхности. Иными словами, на гладкий камень можно тремя способами натянуть резиновое кольцо так, что оно не сползёт. Число 3 объяснялось тем, что для эллипсоида их ровно три. Гипотеза была доказана в 1930 Люстерником и Шнирельманом, а в 1992–93 Фрэнкс и Бангерт показали, что геодезических на самом деле бесконечно много (в том числе и у эллипсоида!) В 2005 был построен элементарный пример «четвертой» геодезической на эллипсоиде. Мы разберем этот пример и подробно исследуем геодезические на поверхности многогранников. Будет доказана теорема о числе геодезических на многограннике и сформулированы несколько открытых проблем.

Большая часть курса доступна школьникам.

Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

Константин Валерьевич Логинов

Алгебра-2

читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных

Топология-1

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман

Математический анализ-2

читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

Второй курс

Тарас Евгеньевич Панов

Топология-3

читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия

читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Игоревич Ильин

Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм

Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса

 

Денис Николаевич Терешкин

Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов

Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин

Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов

Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев

Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат

Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Тарас Евгеньевич Панов

Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.

Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин

Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев

Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 

 

Алексей Викторович Пенской

Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Александр Борисович Калмынин

Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Алексей Викторович Пенской

 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.