Виктор Алексеевич Клепцын
Решётки и упаковки шаров в многомерных пространствах
В.А.Клепцын планирует провести 4 занятия.
Как плотнее всего расположить непересекающиеся одинаковые круги на плоскости? Ответ известен — разместив их центры в вершинах треугольной решётки. В трёхмерном пространстве ответ хоть и считается известным («пирамида ядер»), но до сих пор не доказан.
Достаточно часто в этой или в похожих задачах (скажем, в задаче о контактном числе) ответом (или предполагаемым ответом) оказывается расположение шаров в вершинах, образующих решётку. Поэтому исследование решёток в многомерных пространствах оказывается очень естественным шагом — и приводит к исключительно красивой теории.
Программа курса:
- Решётки в многомерных пространствах, «сильная дырявость» кубической решётки. Характеристики решётки: контактное число, плотность упаковки. Связь контактного числа с передачей информации по зашумлённому каналу.
- Конкретные примеры: пирамида ядер в R3, кубическая, cfc и ccc решётки. Совпадение пирамиды ядер с cfc. Шахматная решётка в R4.
- Свойства решёток: целость, чётность, унимодулярность. Двойственные решётки, самодвойственность. Примеры: решётки Dn, Γn.
- Коды, их свойства. Порождающая матрица, проверочная матрица. Решётки, получающиеся из кодов, связь свойств. Код Хэмминга, пополненный (8,4,4)-код, решётка E8 (она же решётка Коркина- Золотарёва, она же решётка Витта).
- Корни, классификация решёток, порождённых корнями (см. также записки курса Е.Смирнова в ЛШСМ-08). Код Голея и решётка Лича.
- Производящий многочлен кода, его поведение при переходе к двойственному коду. Теорема о делимости на 8 размерности дважды чётного самодвойственного кода. Немного теории представлений: производящий многочлен как многочлен от стандартных.
Если останется время, мы перейдём к более сложным, но тоже красивым и интересным вопросам:
- Тета-функция чётной решётки, переход к двойственной решётке. Модулярные формы, модулярность тета-функции чётной унимодулярной решётки. Теорема о делимости на 8 размерности чётной унимодулярной решётки.
- Ещё немного о модулярных формах и связи с комплексным анализом: функция Вейерштрасса, модулярные инварианты, вложение эллиптической кривой в CP². Как устроено пространство E2n модулярных форм?
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.