Аскольд Георгиевич Хованский

Эллиптический бильярд и теорема Понселе

А.Г.Хованский планирует провести 2 занятия.

Траектории эллиптического бильярда — простой пример вполне интегрируемой системы. Их поведение имеет наглядное геометрическое описание, доступное начинающим математикам.

Пусть A и B — фокусы эллипса и I — отрезок [A, B]. Рассмотрим отрезки l1, l2,… бильярдной траектории между ударениями о стенки бильярда. Существует три типа поведения траекторий.

  1. Первый тип: отрезки l1 и I не пересекаются. Пусть Э — эллипс с фокусами A, B, касающийся отрезка l1.
    Утверждается, что все отрезки траектории l1, l2,… касаются эллипса Э.
  2. Второй тип: отрезок l1 проходит через конец отрезка I.
    Утверждается, что все отрезки l1, l2,… траектории проходят через один из фокусов A, B (попеременно).
  3. Третий тип: отрезок l1 проходит через внутреннюю точку отрезка I. Пусть Г — гипербола с фокусами A, B, касающаяся отрезка l1 (или его продолжения).
    Утверждается, что каждый отрезок траектории l1, l2,… (или его продолжение) касается гиперболы Г.

Траектории первого типа доставляют примеры бесконечнозвенных ломаных, звенья которых касаются внутреннего эллипса Э, а вершины лежат на внешнем эллипсе (границе бильярда). Такие ломаные рассматриваются в теореме Понселе — одной из самых знаменитых и (как традиционно считают) самых трудных теорем элементарной геометрии. В лекциях будет дано простое доказательство этой теоремы.

На первой лекции будет рассказано о простых классических геометрических задачах на максимум и минимум, об оптических свойствах конических сечений, о построении (циркулем и линейкой) пары касательных к квадрике, проходящих через заданную точку. Также мы начнем обсуждение трех типов траекторий эллиптического бильярда.

На второй лекции мы закончим обсуждение трех типов траекторий эллиптического бильярда, дадим элементарное доказательство теоремы Понселе, обсудим общее понятие вполне интегрируемой системы и, если позволит время, обсудим красивое неэлементарное доказательство теоремы Понселе, использующее комплексный анализ. Эта самая последняя часть второй лекции требует немного большей подготовки. Она может оказаться не вполне понятной начинающим.


E-mail оргкомитета:

dubna@mccme.ru