Аскольд Георгиевич Хованский
Эллиптический бильярд и теорема Понселе
А.Г.Хованский планирует провести 2 занятия.
Траектории эллиптического бильярда — простой пример вполне интегрируемой системы. Их поведение имеет наглядное геометрическое описание, доступное начинающим математикам.
Пусть A и B — фокусы эллипса и I — отрезок [A, B]. Рассмотрим отрезки l1, l2,… бильярдной траектории между ударениями о стенки бильярда. Существует три типа поведения траекторий.
- Первый тип: отрезки l1 и I не пересекаются. Пусть Э — эллипс с фокусами A, B, касающийся отрезка l1.
Утверждается, что все отрезки траектории l1, l2,… касаются эллипса Э. - Второй тип: отрезок l1 проходит через конец отрезка I.
Утверждается, что все отрезки l1, l2,… траектории проходят через один из фокусов A, B (попеременно). - Третий тип: отрезок l1 проходит через внутреннюю точку отрезка I. Пусть Г — гипербола с фокусами A, B, касающаяся отрезка l1 (или его продолжения).
Утверждается, что каждый отрезок траектории l1, l2,… (или его продолжение) касается гиперболы Г.
Траектории первого типа доставляют примеры бесконечнозвенных ломаных, звенья которых касаются внутреннего эллипса Э, а вершины лежат на внешнем эллипсе (границе бильярда). Такие ломаные рассматриваются в теореме Понселе — одной из самых знаменитых и (как традиционно считают) самых трудных теорем элементарной геометрии. В лекциях будет дано простое доказательство этой теоремы.
На первой лекции будет рассказано о простых классических геометрических задачах на максимум и минимум, об оптических свойствах конических сечений, о построении (циркулем и линейкой) пары касательных к квадрике, проходящих через заданную точку. Также мы начнем обсуждение трех типов траекторий эллиптического бильярда.
На второй лекции мы закончим обсуждение трех типов траекторий эллиптического бильярда, дадим элементарное доказательство теоремы Понселе, обсудим общее понятие вполне интегрируемой системы и, если позволит время, обсудим красивое неэлементарное доказательство теоремы Понселе, использующее комплексный анализ. Эта самая последняя часть второй лекции требует немного большей подготовки. Она может оказаться не вполне понятной начинающим.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.