Александр Игоревич Буфетов
Никита Евгеньевич Козин

Диаграммы Юнга, ортогональные полиномы и случайные матрицы

А.И. Буфетов и Н.Е. Козин планируют провести 4 занятия.

Диаграммы Юнга дают естественный способ параметризовать разбиение натурального числа в сумму невозрастающих слагаемых.

Рассмотрим разбиение натурального числа в сумму невозрастающих слагаемых, например

10 = 3+2+2+1+1+1

Такому разбиению сопоставляется его Диаграмма Юнга

Вопросом о количестве диаграмм Юнга с данным числом клеток занимался еще Эйлер. Первой целью нашего курса будет выяснить - как выглядят "большие" диаграмма Юнга. Оказывается, диаграммы Юнга имеют так называемую предельную форму - при увеличении числа клеток контур большинства диаграмм стремится к следующей кривой:

Эту замечательную теорему доказали в 1977 г. Вершик и Керов в СССР и Логан и Шепп в США. Мы начнем курс с разбора основных идей доказательства этой теоремы. Доказательство вполне элементарно, и для понимания первой части не требуется никаких предварительных знаний.

Диаграммы Юнга служат простой моделью для описания так называемых случайных матриц. Рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные значения таких матриц? Оказывается, распределение этих собственных значений тоже имеет предельную форму - это знаменитый полукруговой закон Вигнера. Нашей второй целью будет разобрать, на физическом уровне строгости, формулировку полукругового закона Вигнера.

Одним из основных средств при изучении как диаграмм Юнга, так и случайных матриц, являются ортогональные полиномы. Мы завершим курс рассмотрением главных семейств классических ортогональных полиномов на отрезке и на прямой. Для понимания последней части курса желательно уметь интегрировать элементарные функции в объеме программы средней школы.

Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

Константин Валерьевич Логинов

Алгебра-2

читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных

Топология-1

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман

Математический анализ-2

читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

Второй курс

Тарас Евгеньевич Панов

Топология-3

читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия

читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Игоревич Ильин

Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм

Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса

 

Денис Николаевич Терешкин

Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов

Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин

Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов

Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев

Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат

Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Тарас Евгеньевич Панов

Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.

Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин

Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев

Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 

 

Алексей Викторович Пенской

Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Александр Борисович Калмынин

Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Алексей Викторович Пенской

 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.