Виктор Алексеевич Клепцын
Электромагнетизм, связности в главных расслоениях, и уравнения Янга-Миллса.
В.А.Клепцын планирует провести 4 занятия.
Мы поговорим о сюжете, связывающем геометрические понятия — связности и главные расслоения — с физикой, а именно, с уравнениями Максвелла. Оказывается, что уравнения Максвелла, задающие законы изменения электрического и магнитного полей, очень естественно и красиво переформулируются в терминах дифференциальной геометрии — расслоений, связности, кривизны. Под конец мы посмотрим на уравнение Янга-Миллса, — исследование которого (из-за связи со слабым и сильным ядерными взаимодействиями) входит в число семи «проблем тысячелетия», объявленных институтом Клэя!
- 0. Общефизическое введение: элементарные частицы, поля, волны.
Четыре взаимодействия: электромагнитное, слабое, сильное, гравитационное. - 1. С небес на землю — конкретная работа: электричество и магнетизм.
Четыре уравнения Максвелла, их «школьный» физический смысл. - 2. Внешние дифференциальные формы: формальное определение и суть («то, что можно интегрировать»).
- 3. Объединение законов Максвелла в два уравнения: dF=0, d*F=J.
- 4. Понятие расслоения. Связность в расслоении — как ответ на вопрос, «что нужно, чтобы дифференцировать функцию?».
Получается ли локально связность из прямого произведения, или бывает «улыбка Чеширского кота без кота»?
Кривизна связности — как способ измерять «чеширскость». - 5. Принцип наименьшего действия. Возможно — если останется время — несколько слов про интегралы от быстроосциллирующих функций и квантовую механику.
- 6. Идея уравнения Эйлера-Лагранжа на физическом уровне строгости. Её следствие: если у системы в зависимости от текущего состояния задана функция-«лагранжиан», то можно писать, как система будет дальше эволюционировать, не выписывая по отдельности действующие в системе силы.
- 7. Уравнения Максвелла являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для некоторого простого лагранжиана, а именно, интеграла квадрата «релятивистской» нормы формы кривизны.
- 8. Финальный аккорд — уравнения Янга-Миллса: «а что будет, если слой не окружность (как это в уравнении Максвелла), а какая-нибудь другая группа?».
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.