Анатолий Моисеевич Вершик
A что будет, если n очень большое?
А.М.Вершик планирует провести 2-3 занятия
Ответом на этот вопрос занимется пол-матетматики и почти вся физика, — более точную оценку дать невозможно, поскольку часто этот вопрос маскируется совсем непохожими на него.
Но это не значит, что, если вы видите в задаче n или даже 2n , то надо сразу задавать этот вопрос или немедленно переходить к пределу по n — "асимптотничать" надо с умом.
Мы рассмотрим несколько таких примеров.
Пример №1.
Как устроена подстановка n предметов (т.е элемент симметрической группы Sn) когда n большое?
1. Простая задача: сколько циклов в произвольной ("типичной" или "случайной" — это будет уточнено) подстановке при большом n?
2. Задача посложнее с неожиданным ответом: каким может быть типичное соотношение между суммами длин циклов четной и нечетной длины — при больших n?
3. Трудный вопрос: в скольких циклах содержится 99% предметов у 99% всех подстановок при очень больших n (ответ — в 11).
Оказывается, все эти вопросы можно задать и получить те же ответы в задаче о совсем не похожих объектах, а именно: о простых делителях типичных натуральных чисел, Например, аналог последней задачи: произведение 11 старших простых делителей для большинства (99%) натуральных чисел n почти равно этому числу =n0.99, если n очень большое.
Эти задачи привели к замечательной теории случайных сходящихся рядов, которая нашла применения в популяционной генетике, в теории запасов, и даже в теории представлений и ее применениях к физике.
Пример №2.
Рассмотрим разбиения натурального числа в сумму натуральных же слагаемых расположенных в невозрастающем порядке. Разбиениями занимался еще Л.Эйлер, а Харди и Раманауджан нашли в начале ХХ века очень сложную формулу для числа таких разбиений (простой формулы не существует!). Как выглядит типичное разбиение числа n, когда n очень большое. Первым этот вид нашел физик Темперли 60 лет назад, правда, без всякого доказательства. А мы попробуем доказать, что предельная форма разбиения, (которое можно геометрически изображать диаграммой Юнга) существует и найдем ее.
Пример №3.
Рассмотрим выпуклые многоугольники на плоскости, вершины которых лежат на целочисленной решетке (т.е.имеют целые координаты). Зафиксируем площадь многоугольников, равную n2, и будем считать, что центр тяжести вершин этих многоугольников лежит в начале координат. Как выглядит типичный многоугольник при очень большом n, если его сжать в n раз? А если фиксировать не площадь, а квадрат, в котором лежат многоугольники?
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.