Евгений Юрьевич Смирнов
Группы Кокстера и правильные многогранники
Е.Ю.Смирнов планирует провести 4 занятия
|
«Город расположен четвероугольником, и длина его такая же, как и широта. И измерил он город тростью на двенадцать тысяч стадий; длина и широта и высота его равны». (Откровение Иоанна Богослова, 21:16) |
«Свет мой, зеркальце, скажи...»
(А.С.Пушкин)
Ещё древние греки знали, что в трёхмерном пространстве существует ровно пять правильных многогранников (платоновых тел): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Задачу классификации правильных многогранников в пространстве произвольной размерности решил в середине XIX века швейцарский геометр Людвиг Шлефли. Его доказательство опирается на методы элементарной («школьной») геометрии, но, к сожалению, является технически довольно тяжёлым.
Мы классифицируем правильные многогранники несколько иным способом. Следуя общему принципу, восходящему к Феликсу Клейну — «геометрия есть изучение симметрий объектов» — мы будем изучать в первую очередь не сами многогранники, а их группы симметрий. Оказывается, что все эти группы обладают замечательным свойством: они порождаются отражениями относительно некоторого множества гиперплоскостей («зеркал»).
Поэтому вместо исходной задачи — описания групп симметрий правильных многогранников — мы попробуем решить более общую задачу, представляющую и самостоятельный интерес: классифицировать все конечные группы, порождённые отражениями (а не только те из них, которые являются группами симметрий правильных многогранников). Для этого мы научимся строить по каждой такой группе некоторый граф, называемый схемой Кокстера–Дынкина этой группы, и выпишем полный список таких графов. По загадочным причинам весьма похожие списки графов возникают во многих других важных алгебраических задачах. Hапример, с одной из таких задач познакомятся слушатели курса И. В. Аржанцева о представлениях колчанов.
Помимо нашей основной цели — описания правильных многогранников в пространствах различных размерностей — из классификации групп, порождённых отражениями, можно будет получить ещё несколько интересных следствий. Например, мы выясним, как можно замостить сферу одинаковыми треугольниками, а также почему порядок симметрии кристалла может равняться только 2, 3, 4 или 6.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс совместно с мех-мат МГУ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- А.А.Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.