Андрей Михайлович Райгородский

Задачи о покрытии и размерность Вапника–Червоненкиса в комбинаторной геометрии и геометрии чисел

А.М.Райгородский планирует провести 4 занятия.

Занятие 1.

Вот пример типичной задачи о "покрытии".
В группе студентов и школьников, посещающих курс А.М. Райгородского в Дубне, 20 человек. Из них пять человек одинаково хорошо и лучше всех остальных решают задачи по комбинаторике, семь — по геометрии, шесть — по теории чисел и т.д. Нужно составить из этих молодых людей команду для участия в олимпиаде, чтобы в ней по каждому предмету нашелся специалист и чтобы ее размер был как можно меньше. На занятии проблема будет сформулирована в общем виде. Предполагается обсудить и доказать ряд красивых комбинаторных утверждений, позволяющих оценивать мощность так называемой системы общих представителей для совокупности подмножеств конечного множества или, как еще говорят, для гиперграфа.

 

Занятие 2.

На этом занятии будет рассказано об одном очень важном понятии, которое лежит на стыке комбинаторики, геометрии и теории вероятностей. Это понятие размерности Вапника–Червоненкиса. Окажется, что с его помощью удается решать многие комбинаторно-геометрические задачи о покрытии. В частности, речь пойдет о так называемых ε-сетях, являющихся своего рода геометрическими аналогами комбинаторных систем общих представителей.

 

Занятие 3.

На третьем занятии будет продолжено обсуждение многочисленных приложений комбинаторных задач о покрытии в геометрии. Здесь особое внимание будет уделено задаче о хроматическом числе пространства (т.е. о минимальном количестве цветов, в которые можно так покрасить все точки пространства, чтобы между одноцветными точками не было расстояния 1), проблеме Борсука о разбиении ограниченных множеств на части меньшего диаметра и проблеме Грюнбаума о покрытии ограниченных множеств шарами.

 

Занятие 4.

На этом занятии мы поговорим о некоторых задачах геометрии чисел, которая является важным разделом современной теории чисел. Основным ее объектом служит так называемая решетка на плоскости или в пространстве произвольной размерности. Одно из классических утверждений геометрии чисел принадлежит Минковскому: если выпуклая фигура на плоскости симметрична относительно начала координат и ее площадь больше четырех, то фигура содержит нетривиальную точку с целыми координатами. Здесь в роли решетки выступает множество целых точек на плоскости. На занятии мы увидим, что многие глубокие задачи геометрии чисел также могут быть решены с помощью теорем о покрытии.

Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

Константин Валерьевич Логинов

Алгебра-2

читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных

Топология-1

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман

Математический анализ-2

читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

Второй курс

Тарас Евгеньевич Панов

Топология-3

читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия

читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Игоревич Ильин

Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм

Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса

 

Денис Николаевич Терешкин

Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов

Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин

Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов

Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев

Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат

Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Тарас Евгеньевич Панов

Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.

Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин

Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев

Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 

 

Алексей Викторович Пенской

Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Александр Борисович Калмынин

Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Алексей Викторович Пенской

 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.