Виктор Алексеевич Клепцын
Намагничивание решетки: фазовые переходы и уравнение Шрама√Левнера.
В.А.Клепцын планирует провести 4 занятия.
Будет рассказан один сюжет, который может быть равно отнесён к математике и к физике. Это уравнение (эволюция) Шрама-Лёвнера, или SLE.
Возникает оно следующим образом: если взять довольно простую и естественную модель намагничивания двумерного бруска металла, и попытаться спросить, «а как эта модель себя будет вести», ответом будет это уравнение. Причём в большинстве случаев — ответом гипотетическим!
Точнее говоря, как следует из физических аргументов, ответ должен быть именно таким. Но увы, существующая стратегия математического доказательства того, что ответ именно такой, делится на две половины; и если одна из них, которой и будет посвящён этот курс, работает всегда, то вот вторую удаётся заставить работать только для некоторых частных случаев.
Вообще, то, чему посвящён этот курс — удивительно молодая наука, и сейчас очень динамично развивающаяся: SLE появилось в работе Шрама в 2000 году, работы Смирнова с завершением обоснования ответа в одном из случаев на треугольной решётке в 2001-м, в 2004-м появилась работа Лаулера, Шрама и Вернера, где SLE появлялось как предел в ещё одной возможной постановке, а в 2006-м — препринт Смирнова с доказательством сходимости к SLE в одном из случаев для модели намагничивания квадратной решётки. В 2006-м же Венделин Вернер получил премию Филдса за исследования именно в этой области, и этой же области была посвящена пленарная лекция Станислава Смирнова на последнем международном математическом конгрессе.
Я собираюсь нарисовать общую картину того, что сейчас в этой области происходит, и рассказать на условно-доказательном уровне ту половину стратегии, которая работает всегда: почему SLE должно быть пределом («ответом»), если предел конформно-инвариантен (что это значит — будет рассказано).
Помимо основной цели, я постараюсь «зацепить» несколько красивых сюжетов — так, первое занятие мы начнём с «вывода» (нематематического) распределения Максвелла скоростей молекул в газе.
Слушателям курса потребуются интуитивное понимание (но не более того) вероятности, и знание комплексных чисел.
Лекция 1
Статистическая механика: гамильтониан и меры Гиббса. Распределение Максвелла скоростей молекул в газе и броуновское движение частицы в поле сил, как частные случаи меры Гиббса.
Лекция 2
Постановка задачи: модель Изинга. Фазовые переходы: что будет с дискетой, если её сунуть в духовку? Задача о предельных формах кластера и границы («интерфейса»). Перколяция как предел при бесконечной температуре.
Лекция 3
Как «конформно» параметризовывать разрезы (будущие формы границ)? Физический принцип: конформная инвариантность предела для двумерных решётчатых моделей, броуновское движение на плоскости как частный случай.
Лекция 4
SLE как ответ в задаче об интерфейсе, если принцип применим. Открытые вопросы.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.