Владимир Игоревич Арнольд
Квадратичные иррациональные числа, их цепные дроби и их палиндромы.
В.И.Арнольд планирует провести 4 занятия.
Вещественное число x представлено цепной дробью с целыми неполными частными a1, a2, ... (пишут x=[a1, a2, ...]), если
Пример («Золотое сечение»):
x=(√5+1)/2=[1, 1, 1, ...].
Ж. Л. Лагранж доказал, что последовательность неполных частных (начиная с некоторого места) периодична, если и только если число x — квадратичная иррациональность.
Р. О. Кузьмин доказал, что в последовательности неполных частных почти любого вещественного числа доля dm равных m неполных частных одинакова (для типичных вещественных чисел). Доля dm убывает при m→∞ как 1/m2 и её величина была предсказана Гауссом (ничего не доказавшим).
В. И. Арнольда высказал (лет 20 назад) гипотезу, что статистика Гаусса--Кузьмина {dm} выполняется также для периодов цепных дробей корней квадратных уравнений x2+px+q=0 (с целыми p и q): если выписать вместе неполные частные, составляющие периоды всех цепных дробей корней таких уравнений с p2+q2≤ R2, то доля неполного частного m среди них будет стремиться к числу dm при R→∞. В. А. Быковский со своими хабаровскими учениками доказали недавно эту давнюю гипотезу.
Несмотря на это, вопрос о статистике не букв, а составленных из них слов [ak+1, ak+2, ..., ak+T], которые являются периодами цепных дробей каких-либо корней x уравнений x2+px+q=0 далеко не решён.
А именно, статистика таких слов вовсе не совпадает со статистикой всех случайных слов из неполных частных, удовлетворяющих статистике Гаусса--Кузьмина (даже если слова удовлетворяют ей для всех конечных последовательностей неполных частных, а не только для их индивидуальных значений, m=1,2,...).
Например, все слова, составляющие периоды, оказываются палиндромами: бесконечная периодическая последовательность неполных частных с таким периодом переходит в себя, если читать её задом наперёд (как фраза «а роза упала на лапу азора»).
Таким же свойством палиндромности обладают цепные дроби квадратных корней из рациональных чисел (для каорней из целых чисел это заметил уже Галуа). Из статистики Гаусса--Кузьмина палиндромность вовсе не вытекает.
Но энтопийно-криптографические соображения показывают, что, кроме палиндромности, периоды цепных дробей квадратных корней из рациональных чисел (и корней квадратных уравнений x2+px+q=0 с целыми коэффициентами) должны обладать ещё целым рядом специальных свойств (которые ещё предстоит открыть).
Другая серия результатов о статистике периодических цепных дробей описывает поведение длины T(p, q) периода цепной дроби корня уравнения x2+px+q=0 (равной единице для золотого сечения). Среднее \Hat{T}(R) длины T(p, q) периода по кругу p2+q2≤ R2 радиуса R растёт с R линейно (хотя сама длина периода T(p, q) растёт по-разному при удалении от нуля по разным направлениям), причём этот рост напоминает поведение квадратного корня из дискриминанта p2-4q рассматриваемого уравнения. (В случае, когда корни рациональны, период T считается нулём).
В докладе будет больше гипотез, исследование которых доступно школьникам, особенно вооружённым компьютерами, чем доказанных теорем (и, тем более, доказательств): предполагается, что слушатели откроют на этом пути новые свойства цепных дробей квадратичных иррациональностей.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.