Андрей Михайлович Райгородский

Линейно-алгебраические и вероятностные методы в комбинаторике

А.М.Райгородский планирует провести 4 занятия.

Лекция 1.
Рассмотрим простой пример. Пусть Rn={1,...,n}, M={M1,...,Ms} — совокупность некоторых подмножеств Rn, причем Mi∩Mj≠∅ для любых i, j. Спрашивается, насколько большой при данном ограничении может оказаться M? Задачи подобного типа называются экстремальными задачами теории гиперграфов с запретами на мощности пересечения ребер (M — гиперграф). В лекции будут изложены основы двух мощных методов решения подобных задач — вероятностного и линейно-алгебраического. С помощью этих методов будут доказаны теоремы Эрдеша-Ко-Радо, Франкла-Уилсона, Алсведе-Хачатряна и др.
Лекция 2.
Сперва мы рассмотрим нетривиальные обобщения задач из первой лекции на случай векторов в пространстве. Теперь мы будем говорить не о совокупностях множеств с запретами на мощности пересечения, а о системах векторов с запретами на скалярные произведения. С помощью линейно-алгебраического метода мы докажем несколько важных результатов относительно мощностей упомянутых систем. Затем мы применим полученные результаты к двум классическим проблемам комбинаторной геометрии — проблеме Борсука и проблеме о хроматическом числе пространства (в первом случае речь пойдет о разбиении множеств на части меньшего диаметра, во втором — о раскраске пространства без одноцветных точек на расстоянии 1).
Лекция 3.
В этой лекции мы поговорим еще об одном классическом понятии комбинаторики — а именно, о числе Рамсея R(s,t). Сначала мы применим различные вероятностные методы к отысканию нетривиальных оценок величины R(s,t). Проблема будет состоять, однако ж, в том, что все оценки, которые мы таким способом найдем, окажутся, конечно, неконструктивными. И одна весьма изящная модификация линейно-алгебраического подхода позволит нам эту проблему устранить.
Лекция 4.
В этой лекции мы вернемся к изучению гиперграфов. На сей раз мы станем раскрашивать множества их вершин в два цвета, стараясь добиться того, чтобы разница между количествами вершин первого и второго цветов в каждом из ребер была как можно меньше. Сочетание вероятностных и линейно-алгебраических методов поможет нам достичь весьма существенных успехов на этом пути. Будут, в частности, доказаны теоремы Спенсера и Бека-Фиалы.

Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

 

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

 

Константин Валерьевич Логинов
Алгебра-2
читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных
Топология-1
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман
Математический анализ-2
читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Второй курс

 

Тарас Евгеньевич Панов
Топология-3
читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Викторович Пенской
Дифференциальная геометрия
читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Игоревич Ильин
Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм
Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
 
Денис Николаевич Терешкин
Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов
Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин
Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов
Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев
Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат
Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Тарас Евгеньевич Панов
Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.
Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин
Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев
Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 
 
Алексей Викторович Пенской
Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
 
Александр Борисович Калмынин
Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Алексей Викторович Пенской
 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.
 
uchast@mccme.ru