Владимир Викторович Доценко
Композиционные алгебры
В.В.Доценко планирует провести 4 занятия.
Произведение двух точных квадратов является точным квадратом. Если два целых числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение тоже представимо в виде суммы двух квадратов. Для суммы трех квадратов аналогичное утверждение неверно. Дальше стоит немного уточнить задачу: дело в том, что по теореме Лагранжа любое натуральное число представимо в виде суммы четырех (а значит, и большего числа — можно использовать нули!) квадратов, поэтому получается что-то наподобие "если 5 — нечетное число и 37 — нечетное число, то 1973 — тоже нечетное число", а это не очень содержательно. Заметим однако, что наши формулы содержат в себе больше, чем просто факт представимости в виде суммы квадратов, — они предъявляют это представление явно. Говоря формально, забудем про вопросы арифметики натуральных чисел и рассмотрим арифметическое n-мерное векторное пространство Rn (n-ки чисел с покоординатным сложением и умножением на число). Структура композиционной алгебры на нем сопоставляет паре его элементов a и b элемент a∗b так, что умножение и сложение связаны обычным образом (законом дистрибутивности), и |a∗b|=|a|·|b|. (Здесь |a| обозначает длину вектора — корень из суммы квадратов координат.) Оказывается, что структура композиционной алгебры на Rn есть лишь при n=1,2,4,8. (Соответствующие алгебры суть вещественные числа R, комплексные числа C, кватернионы (числа Гамильтона) H и октавы (числа Кэли) O.) Мы докажем это утверждение (удивительным образом, доказательство использует в качестве вспомогательного средства конечные проективные плоскости — но не волнуйтесь, знать про них заранее не обязательно!), а также обсудим разные применения этих алгебр и их обобщений.
Готовьтесь решать упражнения! Для понимания курса полезно знание основ линейной алгебры (базис, размерность), остальное будет поясняться по ходу дела: интерес к вопросу важнее многознания. Программа является примерной и может корректироваться в соответствии с желаниями и возможностями слушателей.
- 1. Комплексные числа, кватернионы, октавы: знакомство.
- 2. Целые кватернионы и доказательство теоремы Лагранжа.
- 3. Композиционные алгебры. Теорема Гурвица.
- 4. Отступление: конечные геометрии и их комбинаторика.
- 5. Процедура удвоения. (Есть ли какие-то свойства у удвоения алгебры октав?)
- 6. Суммы 2n квадратов и теория Пфистера.
- 7. Октавы и многомерная геометрия.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.