Владимир Викторович Доценко

Композиционные алгебры

В.В.Доценко планирует провести 4 занятия.

Произведение двух точных квадратов является точным квадратом. Если два целых числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение тоже представимо в виде суммы двух квадратов. Для суммы трех квадратов аналогичное утверждение неверно. Дальше стоит немного уточнить задачу: дело в том, что по теореме Лагранжа любое натуральное число представимо в виде суммы четырех (а значит, и большего числа — можно использовать нули!) квадратов, поэтому получается что-то наподобие "если 5 — нечетное число и 37 — нечетное число, то 1973 — тоже нечетное число", а это не очень содержательно. Заметим однако, что наши формулы содержат в себе больше, чем просто факт представимости в виде суммы квадратов, — они предъявляют это представление явно. Говоря формально, забудем про вопросы арифметики натуральных чисел и рассмотрим арифметическое n-мерное векторное пространство Rn (n-ки чисел с покоординатным сложением и умножением на число). Структура композиционной алгебры на нем сопоставляет паре его элементов a и b элемент a∗b так, что умножение и сложение связаны обычным образом (законом дистрибутивности), и |a∗b|=|a|·|b|. (Здесь |a| обозначает длину вектора — корень из суммы квадратов координат.) Оказывается, что структура композиционной алгебры на Rn есть лишь при n=1,2,4,8. (Соответствующие алгебры суть вещественные числа R, комплексные числа C, кватернионы (числа Гамильтона) H и октавы (числа Кэли) O.) Мы докажем это утверждение (удивительным образом, доказательство использует в качестве вспомогательного средства конечные проективные плоскости — но не волнуйтесь, знать про них заранее не обязательно!), а также обсудим разные применения этих алгебр и их обобщений.

Готовьтесь решать упражнения! Для понимания курса полезно знание основ линейной алгебры (базис, размерность), остальное будет поясняться по ходу дела: интерес к вопросу важнее многознания. Программа является примерной и может корректироваться в соответствии с желаниями и возможностями слушателей.

  1. 1. Комплексные числа, кватернионы, октавы: знакомство.
  2. 2. Целые кватернионы и доказательство теоремы Лагранжа.
  3. 3. Композиционные алгебры. Теорема Гурвица.
  4. 4. Отступление: конечные геометрии и их комбинаторика.
  5. 5. Процедура удвоения. (Есть ли какие-то свойства у удвоения алгебры октав?)
  6. 6. Суммы 2n квадратов и теория Пфистера.
  7. 7. Октавы и многомерная геометрия.

E-mail оргкомитета:

dubna@mccme.ru