Екатерина Юрьевна Америк
Элементы арифметики в криптографии
Е.Ю.Америк планирует провести 2 занятия.
Программа:
- Повторение: кольцо Z/nZ (алгоритм Евклида, функция Эйлера, китайская теорема об остатках, малая теорема Ферма).
- Некоторые оценки "количества времени", необходимого для тех или иных операций.
- Система RSA (возможно, и некоторые другие криптосистемы с открытым ключом).
- Как строить большие простые числа (нужные для RSA) и как попытаться разложить большое число на множители.
Вначале будет рассказано о некоторых криптосистемах с открытым ключом — в частности, о знаменитой RSA. В основе таких криптосистем лежат так называемые «односторонние функции». Это такие функции f из множества сообщений в множество криптограмм (зависящие от параметра, «ключа»), что любое значение f можно вычислить достаточно быстро, в то время как вычисление f –1 настолько трудно, что оно оказывается неосуществимым на практике за разумное время.
Один из источников «односторонних функций» — арифметика в кольце Z/nZ. При этом естественно возникают некоторые «алгоритмические» вопросы арифметики: как построить «большое» простое число? Как проверить «большое» число на простоту? Как разложить «большое» составное число на множители? Я постараюсь рассказать о некоторых алгоритмах, которые для этого используются.
Наконец, я надеюсь рассказать — очень кратко и, как правило, без доказательств — об эллиптических кривых и их применении в криптографии и алгоритмических проблемах.
Желательно некоторое знакомство с начальными понятиями алгебры (группа, кольцо, поле, теорема Лагранжа) и арифметики (алгоритм Евклида, кольцо Z/nZ, китайская теорема об остатках).
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.