Владлен Анатольевич Тиморин
Квадратичная математика
В.А.Тиморин планирует провести 4 занятия.
Имеются записки!
Формула
((x1)2+(x2)2)((y1)1+(y2)2)=(x1y1-x2y2)2+(x1y2+x2y1)2
связана с законом умножения комплексных чисел. Она означает, в частности, что если каждое из чисел a и b можно представить как сумму квадратов двух целых чисел, то произведение ab тоже представимо в таком виде.
Возникают следующие естественные вопросы:
- Как написать аналогичные формулы для большего числа переменных:
((x1)2+(x2)2+...+(xn)2)((y1)2+(y2)2+...+(yn)2)=(сумма квадратов)?
Полный ответ на этот вопрос науке не известен. Однако есть красивые теории, описывающие частные случаи: комплексные числа, кватернионы, октавы, представления алгебр Клиффорда. Это пример квадратичной алгебры. - Что если вместо суммы квадратов рассмотреть другие квадратичные выражения, и потребовать чтобы коэффициенты были целыми? Например, если каждое из чисел a и b можно представить как 2(x1)2-x1x2+3(x2)2 для некоторых целых x1 и x2, то верно ли, что произведение ab можно представить в таком же виде? Решая задачи такого рода, Гаусс заложил основы алгебраической теории чисел. В частности, он придумал закон композиции квадратичных форм и группы классов. Это пример квадратичной арифметики.
- Какие отображения (геометрические преобразования) переводят все отрезки прямых в дуги окружностей? Науке не известен ответ на этот вопрос. Однако есть много красивых частных случаев, связанных с
Мы кратко (в порядке рекламного ролика) обсудим некоторые (или все) из перечисленных сюжетов. Будет сформулировано много задач, включающих как простые упражнения, так и нерешенные проблемы.
Для понимания курса желательно (но не обязательно) знать, что такое комплексные числа, что такое отображения одной части плоскости или пространства в другую, в частности, евклидовы движения (отображения, сохраняющие расстояния). Знакомство с линейной математикой (линейные функции, линейные уравнения) тоже будет полезно. Курс рассчитан на школьников и первокурсников.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.