Григорий Александрович Гальперин
Математика биллиардов
Г.А.Гальперин планирует провести 4-5 занятий.
Аннотация
Биллиард - это такая динамическая система, в которой одна (биллиардная) точка движется равномерно и прямолинейно в области до тех пор, пока не столкнется с краем области: тогда точка упруго отразится от края и продолжит свое равномерное и прямолинейное движение до следующего столкновения. Область движения биллиардной точки называется биллиардным столом. На занятиях мы обсудим геометрические, арифметические и физические следствия этого простейшего закона для различных биллиардных столов. В основном, кроме первого занятия, мы будем заниматься биллиардами на многоугольных столах и физическими задачами, сводящимися к биллиардам в многоугольниках.
Занятие 1.
Три типа биллиардов: биллиарды Биркгофа, Синая+ (Синая-Бунимовича), многоугольные биллиарды. Конфигурационное и фазовое пространства, теорема Пуанкаре о возвращении. Периодические и всюду плотные биллиардные траектории. Задачи о шарах (задачи Синая), об освещении и из теории чисел.
Занятие 2.
Биллиард в прямоугольнике и тор. Биллиард в угле и динамическая система для числа "пи" (Гальперин). Упругие столкновения частиц на прямой и полупрямой. "Малая" задача Синая (биллиард в многогранном угле) и ее сведение к биллиарду на сфере.
Занятие 3.
Биллиарды в рациональных многоугольниках. Теория Катка-Землякова о рациональных многоугольниках и обмотках кренделей.
Занятие 4.
Биллиарды в треугольниках. Устойчивые и неустойчивые периодические траектории. Перпендикулярные траектории (Стёпин). Бифуркационная диаграмма периодических траекторий в треугольниках (Гальперин [Г]). Периодические орбиты в прямоугольных треугольниках (Cipra+Hanson+Kolan [CHK]) и их устойчивость (Гальперин+Д.Звонкин). Замыкание непериодической орбиты содержит вершину многоугольника (Бошерницан+Гальперин+Крюгер+Трубецкой).
Занятие 5.
Биллиарды с лузами и периодические траектории в них. Конечность числа типов периодических траекторий в таких биллиардах (Гальперин + Делман +Трубецкой [ГДТ]). "Плохая" (неустойчивая) оценка сверху числа этих типов в рациональных многоугольниках [ГДТ]. "Хорошая" (устойчивая и асимптотически точная) оценка сверху числа этих типов в _произвольном_ многоугольнике [ГД].
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.